Pregunta sobre

Question

<blockquote> <p>Que $f \in L^1 ([0,1]).$ prueba que para cada $0<\alpha<\frac{1}{2}$ $$\int_0^1 \left( \frac{\left|f(x)\right|}{x} \right)^\alpha dx$ $ es finito.</p> </blockquote> <p>Intenté usar desigualdad de Jensen, pero hay, por supuesto, ninguna garantía de que $\frac{\left|f(x)\right|}{x}$ es integrable. Le agradeceria algun aporte sobre cómo proceder correctamente.</p>

Answer 1

Deje $p=1/a$$q=(1-a)^{-1}$. Claramente, $p,q>1$$1/p+1/q=1$. A continuación, la aplicación de Hölder la desigualdad obtenemos \begin{align} \int_0^1 \left(\frac{|f(x)|}{x}\right)^a dx &=\int_0^1 |f(x)|^a x^{-a}dx \le \left(\int_0^1 \big(|f(x)|^a\big)^{1/a}\right)^a\left(\int_0^1 (x^{-a})^\frac{1}{1-a}\right)^{1-a} \\ &\le \left(\int_0^1 |f(x)|\,dx\right)^a \left(\int_0^1 (x^{-a})^\frac{1}{1-a}\right)^{1-a} =\|f\|_{L^1}^a \left(\int_0^1 x^{-\frac{a}{1-a}}dx\right)^{1-a}. \end{align} Pero $a<1-a$$a\in(0,1/2)$, y, por tanto,$b=\frac{a}{1-a}<1$, lo que implica que $$ \int_0^1 x^{-\frac{a}{1}}dx=\int_0^1 x^{b}dx=\frac{1}{1-b}=\frac{1}{1-2a}<\infty. $$ En total $$ \int_0^1 \left(\frac{|f(x)|}{x}\right)^dx\le \left(\frac{1}{1-2a}\right)^{1}\|f\|_{L^1}^una. $$