Ejemplo de un integrante del dominio que no es un campo de

Question

Me lo acaba de probar que un anillo conmutativo $R$ es una parte integral de dominio iff $R$ es isomorfo a un sub-anillo de un campo.

Mi pregunta es ¿por qué no $R$ ser un campo con estas condiciones? No podemos satisfacer todas las propiedades del campo?

Gracias.

Answer 1

Para un contra-ejemplo, echemos un vistazo a $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$.
Aquí $\mathbb{Z}$ es una parte integral de dominio que no es un campo;
también se puede comprobar que $\mathbb{Z}$ es un sub-anillo del campo de los números racionales $\mathbb{Q}$ .

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Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}$ satisface todas las propiedades del campo; a excepción de la propiedad que se refiere a la
existencia de inversos multiplicativos para los no-cero elementos. Por ejemplo,$2^{-1} \notin \mathbb{Z}$ .

Answer 2

No, sub-anillo de un campo no cumple con todos los del campo axiomas. Es decir, el problema es doble: la sub-anillo no tiene que contener$1$, e incluso cuando lo hace, hay problemas con la recíproca.

Deje $1\in R\subseteq \mathbb F$ donde $\mathbb F$ es un campo y dejar a $0\neq r\in R$. Seguro, $r$ es invertible en a $\mathbb F$, pero lo que garantiza que $r^{-1}\in R$? Bueno, nada. Véase la respuesta por Famke donde dan ejemplo de $\mathbb Z\subseteq \mathbb Q$.

Answer 3

Otro ejemplo son polinomios $R[x]$ sobre un campo $R$. Mientras que (obviamente) todas las demás propiedades están bien, hay mucho menos inversos que se requieren para un campo.

Ahora el poder formal de la serie ofrecen algo un remedio...