Demostrar que $S^{n-1} \simeq \Bbb R^n - \{ 0 \}$.

Question

Que es demostrar que el $n-1$ ámbito es homotópica del espacio Euclidiano sin el origen.

Dos espacios topológicos $X, Y$ son homotópica si hay mapas de $f: X \to Y$ $g: Y \to X $ tal que $f \circ g \simeq Id_Y$ $g \circ f \simeq Id_X.$

Pensé que podríamos definir (al $n = 3$, por ejemplo)

$f:= f(x,y,z) = (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 - 1}},\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 - 1}},z)$ este asegurarse de que se retire el origen. Por lo $f: \Bbb S^2 \to \Bbb R^3 - \{ 0 \} $

Por otro lado,

$g: g(x,y,\pm\sqrt{ (x^2 + y^2)-1}) = (x,y,\pm\sqrt{ 1-(x^2 + y^2)}) $ donde $g:\Bbb R^3 - \{ 0 \} \to S^2$.

Tengo problemas para hacer el último componente en $f$ mapas de vuelta a $z$.

Answer 1

La idea es mostrar que $S^{n}$ es una deformación retractarse de $\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$. Es fácil ver que $H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{\|x\|}$ obras.

Answer 2

$f:S^{n-1}\to \Bbb R^{n}\setminus \{0\}$ , $f(x)=x$

y $g:\Bbb R^n\setminus \{0\}\to S^{n-1}$ ,$f(x)=\dfrac{x}{\|x\|}$.

$g\circ f =Id_{S^{n-1}}$ $(f\circ g)(x)=\dfrac{x}{\|x\|}$ que es homotópica a $Id_{R^n\setminus \{0\}}$, por el homotopy $H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{\|x\|}$.

Tenga en cuenta que $\forall t\in [0,1]$, $H(x,t)\neq 0$: De hecho, si $tx+(1-t)x/\|x\|=0$$tx=-(1-t)x/\|x\|$, por lo tanto (la aplicación de $\|.\|$) $\|x\|=1$, y $(1-t)=t$$t=\frac12$, pero $H(x,\frac12)=x\neq O$.