Anillo epimorphism $f:R\rightarrow S$, $R$ tiene un número finito de máximos ideales, a continuación,$f(J(R))=J(S)$.

Question

Supongamos $R$ $S$ son anillos conmutativos con unidad y $f:R\rightarrow S$ es un epimorphism. Demostrar que: $$f(J(R))\subseteq J(S).$$ If $R$ has finitely many maximal ideals, then prove that: $$f(J(R))=J(S).$$

Sé cómo demostrar que $f(J(R))\subseteq J(S)$, pero la inversa no sé lo que debo hacer, así que por favor me ayude.

Recordemos que $J(R)$ es Jacobson radical de $R$.

Answer 1

Deje $\mathfrak{m}_i$, i=1,...,n el conjunto de la máxima ideales en $R$. Como $f$ es un epimorphism, cada ideal maximal en $S$ es de la forma $f(\mathfrak{m_i})$ para $i$. También tenga en cuenta que para un epimorphism cada $f(\mathfrak{m})$ es un ideal maximal o todos los de $S$:

Deje $f(a)$$S$, pero no en $f(\mathfrak{m})$ (en particular,$a \notin \mathfrak{m}$). Entonces es $f(\mathfrak{m}) + f(a) = f(\mathfrak{m}+a) = S$

Tenga en cuenta que dos no es igual máxima ideales siempre son relativamente primos. Tenemos

$f(\bigcap_{i=1}^{n} \mathfrak{m}_i) = f(\prod_{i=1}^n \mathfrak{m}_i)= \prod_{i=1}^n f( \mathfrak{m}_i) = \bigcap_{i=1}^{n} f(\mathfrak{m}_i) $

(en general (en el caso infinito) no podemos cambiar a partir de las intersecciones de los productos, por lo que solo tenemos una inclusión)