Calcular el Límite de una Función

Question

Estoy haciendo 18.01 SC del MIT OCW y se quedó atascado en esta pregunta (pset1, 1J-2).

Calcular $$\lim_{x\to \pi/2} {\cos x \over x - \pi/2}$$ by relating it to a value of $(\cos x)'$.

No resolver esta pregunta después de varios intentos, me miró con sus soluciones y encontré este:

$$\lim_{x\to \pi/2} {\cos x \over x - \pi/2} = \lim_{x\to \pi/2} {\cos x - \cos(\pi / 2) \over x - \pi/2} = \left.{d \over dx} (\cos x) \right| _{x = \pi/2} = -1$$

No entiendo la transición de la segunda parte de la ecuación anterior para el tercero. A pesar de que sé cómo calcular la derivada de una función a partir de su diferencia cociente, soy incapaz de comprender cómo la segunda ecuación puede ser el resultado de la derivada de $\cos x$ al $x = \pi/2$. Por favor, que me explique cómo funciona esto.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

La definición de la derivada es

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Ahora, vamos a $f(x)=\cos(x)$ e imponer la sustitución de $h=x-x_0$$x_0=\pi/2$. Entonces, tenemos

$$\left.\frac{d\,\cos(x_0)}{dx_0}\right|_{x_0=\pi/2}=\lim_{x\to \pi/2}\frac{\cos(x)-\cos(\pi/2)}{x-\pi/2}$$

Answer 2

Usted escribió:

Sé cómo calcular la derivada de una función a partir de su diferencia cociente,

Para calcular la derivada de la diferencia cociente es hacer lo siguiente: $$\lim_{x\a} \frac{f(x)-f(a)}{x} = f'(a) = \left. \frac d {dx} f(x) \right|_{x=a}.$$ Este es el caso en que $f(x)=\cos x$$a=\dfrac\pi2$.

La respuesta se basa en el conocimiento previo que $\cos'=-\sin$. Este no es un intento de demostrar que, sino que se utiliza aquí. Cómo probar que $\cos'=-\sin$ es otra pregunta, cuya respuesta sería más que esto.

Answer 3

Sugerencia $\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$, por lo que ahora se puede utilizar el estándar de resultado relacionadas con el pecado para obtener respuesta como $-1$