Composición de la función absolutamente continua en $\mathbb{R}$

Question

¿Es cierto que la composición de dos funciones absolutamente continuas sobre la recta real es absolutamente continua?

Creo que esto debería ser un no rotundo, sin embargo, no estoy seguro de ningún contraejemplo rápido a esta afirmación. ¿A alguien se le ocurre alguno?

Answer 1

Considere $h = f \circ g$ con $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 | \sin (1/x)|$ en $[0,1]$ . Las dos funciones $f$ y $g$ son absolutamente continuas en $[0, 1]$ .

Considere $h = x \sqrt{|\sin (1/x)|}$ . Entonces $h$ es creciente en los intervalos $[2\pi/(2n+1), 2\pi/(2n)]$ . Estos intervalos no se superponen, por lo que la variación total $V$ de $h$ en $[0,1]$ no puede ser menor que la variación total de $h$ sobre estos intervalos; es decir $$V \ge \sum_{i=k}^n \frac{2}{2 \pi k}$$ El lado derecho es una serie armónica que diverge como $n \uparrow + \infty$ . Así, $V$ no tiene límites y entonces $h$ no es de variación acotada. Esto implica que $h$ no puede ser absolutamente continua en $[0, 1]$ .

Answer 2

Sugerencia: Defina las funciones $f$ y $g$ en $[-1,1]$ por $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ para $-1 \le x \le 1$ y $$ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2\cos\left(\frac{\pi}{2x}\right) & \mbox{if $x \ne 0$};\\ 0 & \mbox{if $x = 0$}.\end{array} \right.$$ Entonces

$(i)$ Demuestre que ambos $f$ y $g$ son absolutamente continuas en $[-1,1]$

$(ii)$ Mira la partición $$P_n=\{-1,0,\frac{1}{2n},\frac{1}{[2n-1]},\ldots,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\}$$

$(iii)$ Demostrar que $fog$ no es de variación acotada, y por lo tanto tampoco es no es absolutamente continua, en $[-1,1]$ .