Dos métodos generales que se vienen a la mente:
- Demostrar que el tensor de Riemann toma la forma de la ecuación (3.191, es decir,
$$R_{abcd} = \frac{R}{d(d-1)}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) $$
Si se le entregó a una métrica, en principio, esto debería ser un cálculo simple. Si la métrica es en realidad máximo simétrica, el cálculo del tensor de Riemann suele ser más fácil de lo habitual, especialmente si el uso de una alta tecnología de método como el Cartan formalismo con vielbeins y girar las conexiones (véase el Apéndice J de Carroll).
- Encontrar el número máximo de Matar a los vectores. Para un colector con dimensión $d$, se admite un máximo de $\frac12 d(d+1)$ Asesinato vectores (esto se explica en la sección 3.8 de Carroll). Esta técnica es generalmente más fácil si usted tiene un buen sentido de lo que las isometrías de la métrica son y, básicamente, se puede adivinar toda la Matanza de los vectores. Por ejemplo, en el piso el espacio de Minkowski es bastante obvio que aumenta, rotaciones y traslaciones son todas las simetrías de la métrica. Así que usted escriba los vectores correspondientes a fluir en la dirección de estas transformaciones, y se puede comprobar fácilmente que satisfacen la Matanza de la ecuación, $\nabla_{(a}\xi_{b)}=0$ o $£_\xi g_{ab}=0$ donde $\xi^a$ es la Matanza de vectores.
En la práctica, la construcción de máximo simétrica espacios es más fácil de lo que parece. En general, se comienza con el colector $\mathbb{R}^{n,m}$ con un plano de la métrica de la firma $(n,m)$ (es decir, hay n spacelike coordenadas con un $+dx_i^2$ contribución a la línea de elemento y $m$ coordenadas con un $-dy_j^2$ de contribución). Es bastante sencillo para demostrar que esto es lo máximo simétrica. A continuación, se definen una submanifold $\mathcal{S}$ como el lugar geométrico de los puntos que son fijos distancia desde el origen. Por ejemplo, si empezamos con $\mathbb{R}^{3,0}$, sólo Euclidiana $3$-espacio, podemos decir $\mathcal{S}$ es el conjunto de todos los puntos tales que
$$x^2+y^2+z^2=r_0^2$$
para algunos de radio fijo $r_0$. Por supuesto, esto define una 2-esfera, que es un máximo simétrica espacio de una menor dimensión de $\mathbb{R}^{3,0}$. Se puede inferir, a partir de esta construcción que el submanifold $\mathcal{S}$ va a estar en su máximo simétrica, porque se nos rompió el total del grupo de isometrías de $\mathbb{R}^{n,m}$, en los que deje el origen fijo. Así que empezamos con $\frac12 d(d+1)$ isometrías ($d=n+m$), y la pérdida de todas las traducciones, de los cuales hay $d$, por lo que nos quedamos con $\frac12 d(d+1)-d = \frac12(d-1)d$ isometrías, que es el número máximo de $d-1$ dimensiones.
Desde que le preguntó acerca de 4D máximo simétrica spacetimes, básicamente, hay tres cosas que usted puede hacer. El trivial es sólo espacio de Minkowski, $\mathbb{R}^{3,1}$. La siguiente cosa que puedes hacer es empezar con cinco dimensiones de espacio de Minkowski, $\mathbb{R}^{4,1}$, y recoger todos los puntos que son un fijo spacelike distancia desde el origen,
$$x^2+y^2+z^2+w^2-t^2 = r_0^2 $$
(aquí se $(x,y,z,w)$ son las coordenadas espaciales). La inducida por la métrica en la submanifold es el espacio de de Sitter, $dS_4$, el espacio-tiempo 4D con constante de curvatura positiva.
Finalmente, usted puede comenzar con $\mathbb{R}^{3,2}$ el espacio Euclidiano con $3$ spacelike las direcciones $(x,y,z)$ $2$ timelike las direcciones $(t_1,t_2)$. Esta vez tenemos en cuenta todos los puntos que se fija timelike distancia desde el origen,
$$x^2+y^2+z^2-t_1^2-t_2^2=-r_0^2 $$
La inducida por la métrica de este submanifold es anti-de Sitter espacio, $AdS_4$, que es el espacio-tiempo 4D negativo de curvatura constante.
Localmente creo que cualquier máximo simétrica espacio se verá como uno de los espacios construidos utilizando esta técnica de incrustación de. En algunos casos, sin embargo, no puede ser trivial topológico características que causa el máximo simétrica espacio que se diferencian de las incrustado colectores que acabamos de crear. Un ejemplo es el de $AdS_4$: tal como está, el colector hemos construido ha cerrado timelike curvas (derivadas de moverse en el $t_1$-$t_2$ plano). Estos pueden ser removidos por "desenrollar el tiempo de la dirección," que matemáticamente significa que vaya a la conecta simplemente a la universalización de la cobertura, que es topológicamente diferente de la $AdS_4$ que hemos construido, pero localmente se ve exactamente la misma.
