Límite superior para $\frac{2^n}{n!} \sum_{m=1}^n \frac{\#\{\text{surjections } [n] \to [m]\}}{m}$

Question

En relación con esta pregunta, me gustaría hacer algunas estimaciones usando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.

Definamos

$$a_n= \frac{2^n}{n!} \sum_{m=1}^n \frac{ \mathrm{Surj}(n,m)}{m}$$

donde $\mathrm{Surj}(n,m)$ denota el número de mapas sobreyectivos de un conjunto de $n$ elementos a un conjunto de $m$ elementos. Si se prefiere, se puede usar $\mathrm{Surj}(n,m)=m! S(n,m)$, donde $S(n,m)$ denota el número de Stirling de segunda clase (es decir, el número de particiones de un conjunto de $n$ elementos en $m$ partes no vacías).

Pregunta: ¿Qué tipo de cotas superiores para $a_n$ podemos encontrar? ¿Podemos demostrar que la serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ tiene un radio de convergencia positivo?

Answer 1

Vamos a ver... como correctamente afirmó el OP, $\text{Surj}(n,m)=m!{n\brace m}=\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}\binom{m}{j}j^n$, entonces:

$$ a_n = \frac{2^n}{n!}\sum_{m=1}^{n}\Gamma(m){n\brace m}=\frac{2^n}{n!}\int_{0}^{+\infty}\sum_{m=1}^{n}\lambda^m{n \brace m}\frac{d\lambda}{\lambda e^{\lambda}}$$ es igual a: $$ a_n=\frac{2^n}{n!}\int_{0}^{+\infty}\mathbb{E}[X_{\mu=\lambda}^n]\frac{d\lambda}{\lambda e^{\lambda}}=\frac{2^n}{n!}\int_{0}^{+\infty}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}k^n}{k!}\cdot\frac{d\lambda}{\lambda e^{\lambda}}\,d\lambda $$ donde $X_{\mu=\lambda}$ es una variable aleatoria de Poisson con valor esperado $\lambda$. Al cambiar $\int$ y $\sum$ obtenemos:

$$ a_n = \frac{2^n}{n!}\sum_{k\geq 0}\frac{k^{n-1}}{2^k}\approx\frac{2^n}{n!}\int_{0}^{+\infty}k^{n-1}2^{-k}\,dk=\frac{1}{n}\left(\frac{2}{\log 2}\right)^n $$ por lo tanto, el radio de convergencia de $\sum_{n\geq 0}a_n x^n$ es positivo pero finito, alrededor de $\frac{\log 2}{2}\approx \frac{1}{3}$.