Determinar el grupo G como cíclico

Question

Si $G$ no tiene ningún subgrupo propio, demuestre que $G$ es cíclico de orden $p$ , donde $p$ es un número primo.

Sé que desde $G $ es un grupo sin subgrupos propios, $g \in G$ no es sólo la identidad. No sé a dónde ir desde allí.

Answer 1

Examinar el subgrupo cíclico generado por algún $g \in G$ , donde $g$ no es la identidad.

Answer 2

No es necesario asumir $G$ es finito.

Propuesta. Si $G$ es un grupo que no tiene subgrupos propios no triviales, entonces $G$ es el grupo trivial o $G$ es cíclico de orden primo.

Prueba. Si $G$ es el grupo trivial, hemos terminado. Si $G$ no es el grupo trivial, dejemos que $g\in G$ sea cualquier elemento que no sea la identidad. Entonces $\langle g\rangle$ es un subgrupo no trivial de $G$ y por lo tanto debe ser igual a todo $G$ por hipótesis. Así, $G$ es cíclico.

Si $g^2=1$ entonces $\langle g\rangle =\{1,g\} = G$ Así que $G$ es cíclico de orden $2$ y ya está. Si $g^2\neq 1$ entonces $\langle g^2\rangle$ es un subgrupo no trivial de $G$ Así que $G=\langle g^2\rangle = \langle g\rangle$ por lo que existe $k$ tal que $g = (g^2)^k$ . Así, $g^{2k-1}=1$ lo que demuestra que $g$ es de orden finito. Por lo tanto, $G$ es cíclico finito.

Dejemos que $n$ sea el orden de $g$ . Si $a|n$ , $0\lt a\lt n$ entonces $\langle g^a\rangle = G$ (ya que es un subgrupo no trivial). Por lo tanto, $g\in \langle g^a\rangle$ Por lo tanto, existe b de manera que $g = (g^{a})^b = g^{ab}$ . Por lo tanto, $g^{ab-1} = 1$ Así que $n|ab-1$ . Desde $a|n$ entonces $a|ab-1$ Por lo tanto $a|-1$ Así que $a=\pm 1$ .

Es decir, los únicos divisores de $n$ son $\pm 1$ y $\pm n$ Así que $n$ es primo. $\Box$

Answer 3

En vista de que el cartel original pidió más explicaciones después de una respuesta que obtuvo cinco votos positivos, aquí hay más comentarios.

Dejemos que $g$ difieren de la identidad $e$ . Mira $g, g^2, g^3, \ldots$ . Como el grupo es finito, al final se llega a $g^m=\text{some earlier term in this sequence}= g^\ell$ . Así que $\ell<m$ . Desde $g^m=g^\ell$ , se obtiene $g^{m-1}=g^{\ell-1}$ a menos que $\ell=0$ y eso significa que el $m$ no era el primer término igual a algún término anterior; el $(m-1)$ El primer término es uno anterior. Así que si es el primero, entonces $\ell=0$ . Así que la secuencia es $g, g^2, g^3, \ldots,g^{m-2},g^{m-1},g^m$ y el último término es $e$ . Se trata entonces de un subgrupo. Pero no hay subgrupos propios además del trivial, así que tienes el grupo entero, y $m=n$ .

Eso te da un grupo cíclico; ahora tienes que demostrar que $n$ es primo. Supongamos que no lo es, por lo que $n=jk$ y $j, k$ son números más pequeños que $n$ . Entonces $g^k, g^{2k}, g^{3k},\ldots,g^{jk}=e$ es un subgrupo. Pero no hay subgrupos propios, por lo que la suposición de que $n$ no es primo es refutado.

Answer 4

HINT $\ $ Todo grupo no cíclico tiene un subgrupo propio generado por cualquier elemento no identitario. Cualquier grupo cíclico infinito $\rm\:\left<g\right>\:$ tiene el subgrupo propio $\rm\:\left<g^2 \right>\:.\:$ Un grupo cíclico finito $\rm\:\left<g\right>\:$ de orden compuesto $\rm\:nk\:,\ n,k > 1\:,\:$ tiene un subgrupo propio $\rm\:\left<g^n\right>\:.\:$ Lo que queda son grupos cíclicos de orden primo.