Si $(X,\mathcal{T})$ es un espacio conexo, y $Y$ un subconjunto conexo, y $X\setminus Y=A\cup B$ para conjuntos separados $A$ y $B$ Entonces, ¿por qué $A\cup Y$ ¿también conectado?
Muchas gracias.
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Supongamos que $Y\cup A$ no está conectado. Entonces hay conjuntos abiertos $U$ y $V$ en $X$ tal que $Y\cup A\subseteq U\cup V$ y $U\cap(Y\cup A)$ y $V\cap(Y\cup A)$ son disjuntos y no vacíos. Esto implica que $U\cap V\cap Y=\varnothing$ con $Y\subseteq U\cup V$ . Desde $Y$ está conectado, esto sólo es posible si $Y$ es un subconjunto de uno de $U$ y $V$ , digamos $Y\subseteq U$ . Es evidente que entonces debemos tener $V\cap A\ne\varnothing$ .
Ahora utilizamos el hecho de que $A$ y $B$ están separados. Esto implica que $A\cap\operatorname{cl}B=\varnothing$ . Así, si fijamos $W=V\setminus\operatorname{cl}B$ no hemos eliminado ningún punto de $A$ de $V$ y, por lo tanto $W\cap A=V\cap A$ . $U$ contiene $Y$ y $W$ contiene tanta $A$ como $V$ lo hizo, así que $Y\cup A\subseteq U\cup W$ y $W\cap A\ne\varnothing$ . Además, $$U\cap W\cap(Y\cup A)\subseteq U\cap V\cap(Y\cup A)=\varnothing\tag{1}$$ y $$W\cap B=\varnothing\tag{2}\;.$$
$(1)$ implica que $U\cap W\cap Y=\varnothing$ y $U\cap W\cap A=\varnothing$ y $(2)$ implica que $U\cap W\cap B=\varnothing$ Entonces, juntando las tres piezas, tenemos $$\begin{align*}U\cap W&=U\cap W\cap X\\ &=U\cap W\cap(Y\cup A\cup B)\\ &=(U\cap W\cap Y)\cup(U\cap W\cap A)\cup(U\cap W\cap B)\\ &=\varnothing\;. \end{align*}$$
Por último $G=U\cup B$ claramente $G\cap W=\varnothing$ , $G\cup W=X$ y $G$ y $W$ no son vacíos. Pero $W$ está abierto, y $X$ está conectado, así que tendremos nuestra contradicción si podemos demostrar que $G$ está abierto.
Supongamos que $x\in G$ . Entonces $x\in U$ o $x\in B$ . Si $x\in U$ entonces $U$ es un nbhd abierto de $x$ contenida en $G$ . Si $x\in B$ entonces $x\in B\subseteq X\setminus\operatorname{cl}A\subseteq X\setminus A=Y\cup B\subseteq U\cup B=G$ y $X\setminus\operatorname{cl}A$ es un nbhd abierto de $x$ contenida en $G$ . Así, cada punto de $G$ está en el interior de $G$ y $G$ está abierto. Tenemos nuestra contradicción, así que de hecho $Y\cup A$ debe estar conectado.
Tsundoku
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1953
Me gusta la siguiente definición, que es conveniente y forma parte del objetivo de dar a la topología general más énfasis en las propiedades de las funciones continuas que en la estructura interna de los espacios, es decir, énfasis en la categoría de espacios topológicos y mapas continuos.
Sea $\mathbf 2= \{0,1\}$ con la topología discreta. Entonces un espacio $X$ es conexa si y sólo si cualquier función continua $f: X \to \mathbf 2$ es constante. También necesitamos lo siguiente, que se trata de pegar funciones continuas.
Proposición: Sea $X$ sea un espacio con subespacios $Y,A,B$ tal que $X \backslash Y= A \sqcup B$ (unión disjunta). Sea $g: X \to Z$ sea una función tal que $g$ es continua cuando se restringe a cada uno de $Y \cup A, Y \cup B$ . Entonces $g$ es continua.
Ahora, el caso en cuestión. Veamos $f: A \cup Y \to \mathbf 2$ sea continua. Dado que $Y$ está conectado, $f$ es constante en $Y$ con valor $0$ digamos. Ampliar $f$ a una función $g$ en $X$ tomando el valor $0$ en $Y \cup B$ . Pero $X \backslash Y= A \sqcup B$ por suposición, por lo que $g$ i Dado que $X$ es conexo, se deduce que $g$ es constante. Por lo tanto $f$ es constante.
(Esta es la solución insinuada del Ejercicio 3 de la Sección 3.3 de mi libro "Topología y Groupoides").
tmpvar
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131
He aquí un argumento limpio y sencillo:
Supongamos por contradicción que tenemos conjuntos mut. separados no vacíos M,N que componen $A\cup Y$ . (Es decir, $A\cup Y$ no está conectado). Entonces uno de estos conjuntos debe cubrir Y.
He aquí por qué: Si uno es un subconjunto propio de Y (Supongamos que es M), entonces M e Y\M serían una partición mutuamente separada de Y en dos conjuntos no vacíos. (Porque Y\M sería un subconjunto de N (Y\M = $N\cap Y$ de hecho) y M,N están separadas). Esto no puede ocurrir ya que Y está conectado.
Así que supongamos que M cubre Y. Ahora mira la partición de X en conjuntos no vacíos $[M\cup B]$ y $N$ . N es un subconjunto de A ya que M cubre Y. Por lo tanto B,N están separados (por hipótesis de A y B sep.). Ya hemos supuesto que M,N están separados, así que en total tenemos $[M\cup B]$ y $N$ se separan mutuamente. Esto contradice que X esté conectado.
Ya Basha
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130
Como yo lo veo, $A$ , $B$ y $Y$ son disjuntos, y su unión constituye el espacio conexo $X$ . La pregunta es entonces, ¿es el complemento de $B$ en $X$ ¿conectados? Voy a suponer que todos ellos no están vacíos.
Dos puntos dados en $Y$ están conectadas por definición de $Y$ . Queda por demostrar que un punto $a \in A$ y un punto $y \in Y$ están conectados, ya que dos puntos en $A$ pueden conectarse a través de un punto en $Y$ .
En $X$ está conectado, $A$ , $B$ y $Y$ debe tener límites no vacíos. Como $A$ y $B$ están desconectados, no hay puntos en la frontera de $A$ puede estar en la frontera de $B$ . Esto significa que cualquier punto límite de $A$ tiene una vecindad abierta que contiene sólo puntos de $A$ y $Y$ . En $a$ está conectado a algún punto límite de $A$ y, por tanto, algún punto de $Y$ está conectado a $y$ por el punto anterior, ya que la conectividad entre puntos es transitiva.
Con esto concluye la prueba de que el complemento de $B$ en $X$ está conectado.
