Dividir un número en partes

Question

¿De cuántas maneras puede un número natural $n$ se dividirá en $m$ números naturales (partes) donde cada parte es menor que $n$ las partes no tienen que ser necesariamente iguales, y todas ellas suman $n$ ?

Answer 1

Cuando se permite que los sumandos sean cero, se conocen como composiciones débiles de enteros $n$ teniendo $m$ piezas .

Se cuentan fácilmente por la técnica de las "estrellas y barras" como indicó Rus May. Esto es una pregunta frecuente aquí.

Las expresiones en las que se nos exige descuento Las sumas que difieren sólo en el orden de los mismos sumandos se llaman particiones de enteros $n$ teniendo como máximo $m$ piezas . Para ellos no existen fórmulas simples de recuento de coeficientes binomiales, aunque los trabajos de Ramanujan y otros condujeron finalmente a una especie de "forma cerrada". Por lo tanto, el recuento de las particiones de enteros es más difícil que el de las composiciones de enteros, a pesar de la similitud general de los problemas.

Answer 2

Este es el problema de las "estrellas y las barras": $n$ estrellas, $m-1$ bares, así que $\binom{n+m-1}n$ formas de dividir $n$ en $m$ partes.