Cómo probar esto $det\left(\frac{1}{\lambda^2_{i}+t\lambda_{i}\lambda_{j}+\lambda^2_{j}}\right)_{n\times n}>0,-2<t<2$

Question

Pregunta:

Mostrar que para $t\in (-2,2)$ $0<\lambda_1<\lambda_2<\ldots<\lambda_n$ hemos $$det(A)=det\left(\dfrac{1}{\lambda^2_{i}+t\lambda_{i}\lambda_{j}+\lambda^2_{j}}\right)_{n\times n}>0$$

Yo: hace unos días,me han pedir a este problema de Cómo probar esta matriz $\det (A)=\left(\frac{1}{\ln{(a_{i}+a_{j})}}\right)_{n\times n}\neq 0$

Pero quiero tratar de usar achille hui métodos,así $$\dfrac{1}{\lambda^2_{i}+t\lambda_{i}\lambda_{j}+\lambda^2_{j}}=\int_{0}^{\infty}f(\lambda_{i},\lambda_{j},x)dx$$ Pero no puedo encontrar esta $f$. Muchas gracias!

Ahora, Sánchez ha probar para$t\le 0$$\det(A)>0$, por lo que otro caso, es cierto? Gracias

Answer 1

Al $t\in(0,2)$, usted puede reducir el problema al caso de $t=0$ como sigue. Escribir \begin{align*} \frac{1}{\lambda_i^2+t\lambda_i\lambda_j+\lambda_j^2} &=\frac{1}{(\lambda_i+\lambda_i)^2-2(1-\frac t2)\lambda_i\lambda_j}\\ &=\frac{1}{(\lambda_i+\lambda_i)^2} \frac{1}{1-(1-\frac t2)\frac{2\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_i)^2}}\\ &=\frac{1}{(\lambda_i+\lambda_i)^2} \sum_{k=0}^\infty\left[\left(1-\frac t2\right)\frac{2\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_i)^2}\right]^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left(1-\frac t2\right)^k\frac{2^k\lambda_i^k\lambda_j^k}{(\lambda_i+\lambda_i)^{k+2}}. \end{align*} Así, no es suficiente para mostrar que la matriz $B=\left[\frac{\lambda_i^k\lambda_j^k}{(\lambda_i+\lambda_i)^{k+2}}\right]_{i,j=1,2,\ldots,n}$ es positiva definida para todo número entero $k\ge0$. Desde $B$ es congruente a $\left[\frac1{(\lambda_i+\lambda_i)^{k+2}}\right]_{i,j=1,2,\ldots,n}$ y Hadamard productos de positiva definida matrices son positivos definitivo, es suficiente para demostrar que $C=\left[\frac1{\lambda_i+\lambda_i}\right]_{i,j=1,2,\ldots,n}$ es positiva definida. Pero este llega a ser el caso con $t=0$ $\lambda_i$ reemplazado por $\sqrt{\lambda_i}$ en la declaración original del problema.