Probabilidad de que el casco convexo de puntos aleatorios contenga el centro de la esfera

Question

¿Cuál es la probabilidad de que el casco convexo de $n+2$ puntos aleatorios en $n$ -¿esfera dimensional contiene el centro de la esfera?

Answer 1

Este problema se discute en J. G. Wendel; A Problem in Geometric Probability, Mathematica Scandinavica 11 (1962) 109-111 . Wendel demostró que la probabilidad de $N$ puntos aleatorios situados en la superficie de la esfera unitaria de dimensión $n$ todos se encuentran en un hemisferio es

$2^{-N+1}\sum_{k=0}^{n-1} {{N-1}\choose k}$

He encontrado esto aquí .

Answer 2

Esta es una de esas viejas castañas que surgen una y otra vez. Para ser precisos, la probabilidad de que el casco convexo de $n+2$ puntos en $S^n$ (la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n+1}$ ) contiene el origen es $2^{-n-1}$ .

Hay un breve argumento en El mundo matemático de Wolfram que no encuentro totalmente convincente pero que ciertamente puede ser parcheado para formar un argumento convincente. En resumen, demostrar que para puntos aleatorios $P_1,\ldots,P_{n+2}$ en la esfera, entonces con probabilidad uno, exactamente una elección de signos situará el centro en el casco convexo de $\pm P_1,\pm P_2,\ldots,\pm P_{n+1}$ y $P_{n+2}$ .

Añadido (3/8/2010) Gracias a Grigory por su comentario. Cambiando ligeramente la notación se puede demostrar que bajo algunas hipótesis débiles, si elegimos $m+1$ puntos de forma aleatoria e independiente en $\mathbb{R}^m$ la probabilidad de que su convexo contiene el origen es $2^{-m}$ .

Tome una distribución de probabilidad en $\mathbb{R}^m$ y elegir una secuencia de puntos (que identificamos con vectores) de forma independiente de esa distribución. Nuestra primera condición sobre esta distribución es que $m$ vectores $v_1,\ldots,v_m$ elegidos independientemente de ella son linealmente independientes con probabilidad uno. Esto puede fallar si, por ejemplo, algún punto ocurre con probabilidad no nula o la distribución se encuentra en un hiperplano que pasa por el origen. Supongamos esta condición.

Ahora una secuencia $v_0,v_1,\ldots,v_m$ de puntos aleatorios elegidos según nuestra distribución son linealmente independientes: hay reales $a_i$ no todo cero con $\sum_i a_i v_i=0$ . Por nuestra condición, con probabilidad uno, la secuencia $(a_0,\ldots,a_m)$ es único hasta un múltiplo constante, y además todos los $a_i$ son distintos de cero. Así que podemos suponer $a_0=1$ y $a_1,\ldots,a_m$ son distintos de cero y están determinados de forma única. Entonces el casco convexo de la $v_i$ contiene el origen si y sólo si todas las $a_i$ son positivos.

Ahora introducimos otra condición: que la distribución sea centralmente simétrica; en concreto la probabilidad de que un vector aleatorio $v$ se encuentra en un conjunto $A$ es igual a la probabilidad de que $-v$ se encuentra en $A$ . Una condición como esta es claramente necesaria; impide que la distribución se apoye en una pequeña región alejada del origen. Esta condición muestra que todos los $2^m$ posibilidades de los signos para $a_1,\ldots,a_m$ son equiprobables; ya que al cambiar el signo de alguna $v_i$ cambia el signo de $a_i$ .

Para concluir, si nuestra distribución de probabilidad sobre $\mathbb{R}^m$ satisface estas dos condiciones, la probabilidad de que el casco convexo de $m+1$ puntos elegidos de forma independiente contiene el origen es $2^{-m}$ . Estas condiciones las cumple la distribución uniforme en una esfera con centro en el origen, pero también muchas otras.