Integral de la $n$ $\sin^n(x) + \cos^n(x) = 1-\frac{n}{2}\sin^2(x)\cos^2(x)$

Question

Muestran que la única solución integral de $\sin^n(x) + \cos^n(x) = 1-\frac{n}{2}\sin^2(x)\cos^{2}(x)$$n=4,6$.

He probado a $n=4,6$ es cierto, por otra entero, traté de comprobar el rango de funciones de la izquierda y de derecha. Esto no es tan eficaz, y yo no. Por favor, sugiera un método en el este.

Answer 1

$x=\pi/4$ da $$ \frac{1}{2^{n/2-1}}= 1-\frac{n}{8} $$ y la RHS va a $-\infty$ donde la PREPA se va a$0$$n\to \infty$.

Answer 2

Si el enchufe $x=\dfrac{\pi}{4}$, se obtiene:

$$\dfrac{2}{\sqrt{2}^n}=1-\dfrac{n}{8}.$$

Su mano izquierda es positiva, de modo que su lado derecho debe ser así, que impone $n< 8$.

Ahora, si $n$ es impar, su mano izquierda no es racional, por lo que están a la izquierda para comprobar la $2,4,6$.

Si $n=2$, la igualdad no se cumple. Ya comprobaste que $n=4,6$ trabajo , hemos terminado.

[Edit: $n$ reemplazado por $x$ en la primera línea]