Ejemplo de countably conjuntos infinitos que está conectado?

Question

Esta pregunta surge después de la constatación de que conjuntos contables e incontables conjuntos no es necesario difieren en la manera en la que la primera tiene lagunas mientras que el segundo no tiene lagunas. La mejor topológica de la noción de que la captura de la propiedad de las lagunas es de total desconexión. Citando A Wikipedia:

Un totalmente desconectado conjunto es un conjunto $S$ donde el único conectado subconjuntos son los únicos y el conjunto vacío.

Así, por ejemplo,

$\Bbb{Z},\Bbb{N}$ están totalmente desconectados porque son discretos.

$\Bbb{R}$ está conectado "en todas partes" (en el intervalo abierto de la topología) desde cualquier intervalos no puede ser escrito como uniones de intervalos abiertos sin que se superpongan.

mientras que $\Bbb{Q}$ es totalmente desconectados, ya que entre dos racionales, podemos elegir un irracional $r$ y la construcción de abrir los intervalos de $(-\infty,r)\cup(r,\infty)$ a separarlos.

A través de la prueba de esta pregunta, el conjunto de cantor $\mathcal{C}$ es totalmente desconectados, ya que sólo se compone de los extremos y el límite de puntos de dichos extremos por lo tanto es totalmente desconectada,

y a través de la prueba aquí, el p adics $\Bbb{Z}_p$ también están totalmente desconectados

Todos los ordinales, y, en general, bien de conjuntos ordenados, están totalmente desconectados. Tomar cualquier ordinal $\alpha$ como un ejemplo, como se muestra aquí, podemos tomar las particiones $\{[0,\beta +1)\cup(\beta,\infty),\beta \in \alpha\}$, con lo que la única componentes conectados son los únicos.

Así que, básicamente, tiene la siguiente tabla:

Por lo tanto:

Independientemente de si aceptar o rechazar el axioma de elección, (generalied) hipótesis continua. El uso de ZF, ¿ no bien ordenado countably conjuntos infinitos $X$ que no tiene lagunas existe (es decir, podemos tener un "contables continuum", de forma análoga a cómo $\Bbb{R}$ forman un continuum), si sí lo son los ejemplos?

Si tal no existe, ¿cuál es el teorema que sugiere que?

Answer 1

Primero de todo, no tiene sentido hablar de un conjunto de estar "conectado" o "desconectado". Estas palabras sólo tienen significado cuando se habla de un espacio topológico, y no sólo un conjunto.

Como para un countably infinito conectado topológica del espacio, hay un montón de dichos espacios. El ejemplo lo más fácil es tomar cualquier countably conjunto infinito $X$ y darle la topología indiscreta, donde la única conjuntos de $X$$\emptyset$. Intuitivamente, se puede pensar en esto como un "espacio" donde todos los puntos están a la derecha en la parte superior de uno al otro, así que usted no puede decir a cualquiera de ellos aparte (pero sin embargo hay infinitamente muchos de ellos).

Más sorprendentemente, existen countably infinito conectado espacios de Hausdorff. Ver https://mathoverflow.net/questions/46986/countable-connected-hausdorff-space para citar algunos ejemplos.

Answer 2

Un ejemplo sencillo, que es un $T_1$ espacio, pero no $T_2:$ Deje $X=\mathbb N$ y deje $T$ ser el co-finito topología en $X$ : no-vacía $S\subset X$ es abrir el fib $X$ \ $S$ es finito.

Está conectado, como cualquiera de los dos no -vacío abrir los conjuntos infinitos intersección. Y si $Y$ es cualquier infinita subespacio de $X$ $Y$ es homeomórficos a $X$, lo $Y$ está conectado. Y si $p\in V\subset X,$ donde $V$ es un nbhd de $p$, $V$ está conectado.