Usar los Resultados en los Espacios de Sobolev

Question

Tengo dos preguntas sobre el uso de los resultados en los Espacios de Sobolev y una última en una desigualdad que involucra espacios de soporte:

1.El Gagliardo-Nirenberg-Sobolev la Desigualdad indica lo siguiente: Suponga $1 \leq p < n$. Entonces existe una constante $C$, dependiendo únicamente de la $p$$n$, de tal manera que $||u||_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})} \leq C||Du||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$ todos los $u \in C_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ .

Podemos aplicar este Teorema para cualquier arbitrario $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ señalando que $C_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ es denso en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y luego tomar la $\{u_{m}\}_{m}^{\infty} \subset C_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $u_{m} \rightarrow u$$W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$. El uso de la G-N-S de la Desigualdad obtenemos $||u_{m}||_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})} \leq C||Du_{m}||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$ y, a continuación, se sigue que $\text{lim}_{m \rightarrow \infty}$ $||u_{m}||_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})} \leq \text{lim}_{m \rightarrow \infty}C||Du_{m}||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$ y, por tanto,$||u||_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})} \leq C||Du||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$$u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Es esta multa?

2.Del mismo modo que hace Morrey la desigualdad que establece:

Suponga $n < p \leq \infty$. Luego esists una constante$C$,$p$$n$, de tal manera que $||u||_{C^{0,\gamma}(\mathbb{R}^{n})} \leq C||u||_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}$ todos los $u \in C^{1}(\mathbb{R}^{n})$.

¿Esta presionado para todos los $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ por una densidad similar argumento como el anterior?

3.Por último tenemos la siguiente desigualdad o alguna variación de este: $||u||_{L^{p}(U)} \leq ||u||_{C^{0,\gamma}(\bar{U})} \leq ||u||_{W^{1,p}(U)}$ $n < p \leq \infty$ $u \in W^{1,p}(U)$ donde $U$ es un delimitada, abrir subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ $\partial U$ $C^{1}$ e donde: $C^{0,\gamma}(\bar{U})$ es el Titular del espacio.

Muchas gracias por cualquier ayuda! Déjeme saber si algo no está claro.

Answer 1

Para el primero: usted todavía necesita para probar $$\lim\|u_m\|_{p^*} = \|u\|_{p^*}.$$ Es decir, usted necesita para mostrar que $u_m \to u$$L^{p^*}$. Sugerencia: Utilice el GNS para mostrar que $u_m$ es una secuencia de Cauchy.

El mismo comentario se aplica a los 2.

Con el fin de probar 3 de 2, usted todavía necesita una extensión de la propiedad para $U$, es decir, para cada una de las $u \in W^{1,p}(U)$ existe $v \in W^{1,p}(\mathbb R^n)$$\|v\| \le C \, \|u\|$.

Answer 2

Creo que gerw tiene la pieza faltante de su prueba en la pista de que usted debe utilizar secuencias de Cauchy en lugar de utilizar G-N-S y $||u_{m}-u||_{L^{p^{*}}} <= C|||Du_{m}-Du||_{L^{p}}$. Después de haber dicho que no creo que su respuesta fue escrito en un muy informativo. Para adaptarse a su prueba para la pregunta (1) utilice el siguiente:

Desde que se demostró que $\{Du_{m}\}_{m}$ es convergente en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ también se deduce que es de Cauchy en $L^{p}$. Así que, a continuación, utilizando la desigualdad de $||u_{m}-u_{j}||_{L^{p^{*}}} \leq C||Du_{m}-Du_{j}||_{L^{p}}$ es fácil ver que $\{u_{m}\}_{m}^{\infty}$ es de Cauchy en $L^{p^{*}}$, ya que el $L^{p^{*}}$ es un Espacio de Banach(completa) se deduce que $u_{m} \rightarrow v$ algunos $v \in L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})$. Usted también tiene $u_{m} \rightarrow u$$W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$, lo que implica $u_{m} \rightarrow u$$L^{p}(\mathbb{R}^{n})$. La convergencia en $L^{p}$ implica la convergencia en la medida, por lo que son los límites de la misma.e.(por lo $v=u$.e.). Por lo $u_{m} \rightarrow u$$L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})$.

Ahora sigue de la continuidad de la norma que $||u_{m}||_{L^{p^{*}}} \rightarrow ||u||_{L^{p}}$$||Du_{m}||_{L^{p}} \rightarrow ||Du||_{L^{p}}$, esto junto con la N-G-S de la desigualdad de $||u_{m}||_{L^{p^{*}}} \leq C||Du_{m}||_{L^{p}}$ le da la deseada desigualdad $||u||_{L^{p^{*}}} \leq ||Du||_{L^{p}}$. Tenga en cuenta que este resultado también le dan la continua incrustación $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}) \subset L^{p}(\mathbb{R}^{n})$.

El mismo tipo de densidad argumento se aplica a (2). Una buena referencia para la totalidad de las pruebas de 'Gagliardo-Nirenberg-Sobolev la Desigualdad' y 'Morrey de la Desigualdad" es Brezis libro "Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales'

Sería mejor post (3) como una cuestión separada si no necesariamente quiere seguir a las otras dos preguntas.