Question: Un operador $A$ está en una base particular $|a_i\rangle$ (donde $i=1,2$ ), y está representado por $$A=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i &0 \end{pmatrix}$$ Ahora, define dos nuevos vectores base $|b_i\rangle$ por $$\langle a_i | b_1\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\langle a_i | b_2\rangle =-\frac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$¿Qué es? $A$ en la nueva base?
Attempt : En primer lugar, he definido la matriz de transformación $U$ : $$U=\begin{pmatrix} \langle a_1 |b_1 \rangle & \langle a_1 |b_2 \rangle \\ \langle a_2 |b_1 \rangle & \langle a_2 |b_2 \rangle \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix}$$
Si dejamos que $A'$ sea la matriz en la nueva base, obtenemos $$ A'=UAU^\dagger$$ Y es un simple cálculo (a mano o a través de la matemática) para demostrar que $$ A'=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Sin embargo, quería comprobar mi trabajo utilizando la notación de Dirac, así que utilicé la ecuación $$ A_{ij}'=\langle b_i |A|b_j\rangle=\sum_{n,m} \langle b_i |a_n\rangle A_{nm} \langle a_m | b_j \rangle$$
Un ejemplo de cálculo de $A_{12}'$ se muestra a continuación: $$A_{12}'=\sum_{nm}\langle b_1 | a_n \rangle A_{nm} \langle a_m | b_2 \rangle$$ $$=\langle b_1|a_1\rangle A_{12}\langle a_2 | b_2 \rangle+ \langle b_1 |a_2\rangle A_{21}\langle a_1|b_2\rangle$$ $$=\frac{1}{2}(1)(-i)(i)+\frac{1}{2}(1)(i)(-i)=1$$ Utilizando el mismo método para los otros componentes, encontramos $A'$ para ser $$ A'=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Mi pregunta es ¿qué método es incorrecto? ¿Tengo mal la fórmula de la matriz U o no estoy utilizando bien la notación de Dirac? Gracias de antemano.
