Los límites para las soluciones de $xe^{x} -n =0$ $n\geq 3$

Question

$\alpha _{ n }$ es una solución para $f_{ n }=xe^{ x }-n =0$. Cómo puedo probar que $\forall n\geq 3$, $\ln(n)-\ln(\ln(n))\le \alpha _{ n }\le \ln(n)$

Answer 1

Para $x\ge-1$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}xe^x=(1+x)e^x\ge0$. Por lo tanto, $f(x)=xe^x$ es monótona creciente para $x\ge-1$. Por lo tanto, para $x\ge e$, $$ \begin{align} f(\log(x)) &=\log(x)e^{\log(x)}\\ &=x\log(x)\\ &\ge x \end{align} $$ Además, $$ \begin{align} f(\log(x)-\log(\log(x))) &=(\log(x)-\log(\log(x)))e^{\log(x)-\log(\log(x))}\\ &=\frac{\log(x)-\log(\log(x))}{\log(x)}x\\ &=\left(1-\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}\right)x\\ &\le x \end{align} $$ Por lo tanto, para $x\ge e$, $$ \log(x)-\log(\log(x))\le f^{-1}(x)\le\log(x) $$

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Lambert W

$f^{-1}$ es comúnmente conocida como la W de Lambert función.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f_n(x)=0$ fib $g(x)=xe^x=n$.

$g(x)$ es monótona creciente, por lo $(g(x)>n) \Leftrightarrow (x>\alpha_n)$ $(g(x)<n) \Leftrightarrow (x<\alpha_n)$

El límite superior: $g(\ln n) = n\ln n > n$, así como está escrito más arriba, $\alpha_n < \ln$.

El límite inferior:

$$ g(\ln n - \ln(\ln n)) = (\ln n - \ln(\ln n))e^{\ln n - \ln(\ln n)} $$ $$ = (\ln n - \ln(\ln n))n\cdot \frac{1}{\ln n} $$ $$ = \left(1 - \frac{\ln(\ln n)}{\ln n}\right)n < n $$

Así que, de nuevo debido a $g(x)$ es monótona creciente, $\alpha_n>\ln n - \ln(\ln n)$.

Answer 3

Deje $\alpha_n$ ser una solución para algunos de los $n\geq 3$. Entonces $$ \alpha_n e^{\alpha_n}=n \ffi \alpha_n+\log(\alpha_n)=\log(n), $$ así que, si $\log(\alpha_n)>0$ o, equivalentemente, $\alpha_n>1$ (lo cual es cierto ya que $n\geq 3$), $\alpha_n\leq \log(n)$ por los de arriba.

Ahora, desde la $\alpha_n\leq \log(n)$ $x\mapsto \log(x)$ va en aumento, a continuación, $\log(\alpha_n)\leq\log(\log(n))$ y así se obtiene el límite inferior: $$ \alpha_n=\log(n)-\log(\alpha_n)\geq \log(n)-\log(\log(n)). $$