El resultado que podemos mostrar es el siguiente:
Deje $E$ $F$ dos espacios vectoriales topológicos, y $T\colon E\to F$ lineal en el mapa. Si $E$ es finito dimensionales, a continuación, $T$ es continua.
En primer lugar, si $(e_1,\ldots,e_n)$ es una base de $E$, entonces cualquier conjunto de $n+1$ vectores de $T(E)$ es linealmente dependiente, por lo $T(E)$ tiene una dimensión $\leqslant n$. Deje $k$ ser la dimensión de la $T(E)$, e $(v_1,\ldots,v_k)$ una base de este espacio. Nos pueden escribir para cualquier $x\in E$: $T(x)=\sum_{i=1}^ka_i(x)v_i$ y desde $v_i$ es una base cada una de las $a_i$ es lineal.
Tenemos que mostrar que cada mapa $T_i\colon E\to F$, $T_i(x)=:a_i(x)v_i$ es continua.
Añadido: el mapa de $x\mapsto a_i(x)$ está bien definido debido a $(v_1,\ldots,v_k)$ es una base. En particular, toma finito de valores.
Por definición de una topología sobre un espacio vectorial topológico sólo tenemos que demostrar que el mapa de $x\mapsto a_i(x)$ es continua. Para hacerlo, utilizamos el hecho de que un número finito de dimensiones topológicas espacio vectorial puede ser equipado con una norma que le da la misma topología (de hecho, es el único), es decir, poner a $$N\left(\sum_{j=1}^n\alpha_jx_j\right):=\sum_{j=1}^n|\alpha_j|.$$
Ahora, la continuidad es fácil de comprobar: que denotan $x=\sum_{j=1}^nx_je_j$ $y=\sum_{j=1}^ny_je_j$
$$|a_i(x)-a_i(y)|\leqslant \sum_{j=1}^n|a_i((x_j-y_j)e_j)|=\sum_{j=1}^n|x_j-y_j|\cdot |a_i(e_j)|\leqslant N(x-y)\sum_{j=1}^n|a_i(e_j),$$
desde $|x_j-y_j|\leqslant N(x-y)$ todos los $1\leqslant j\leqslant n$.
