Permutación del modelo ZF

Question

Quiero asegurarme de que entiendo cómo funcionan. Puede alguien comprobar mis respuestas al siguiente ejercicio // responder a mis preguntas. :)

Dejemos que $(V, \in)$ sea un modelo de ZF, y que $\sigma$ sea una permutación de $V$ . Definimos una nueva relación binaria $\in^\sigma$ en $V$ por $(x\in^\sigma y)\iff(x\in \sigma(y))$ .

1. Verificar que la estructura $(V,\in^\sigma)$ satisface todos los axiomas de ZF excepto, posiblemente, el de Fundación.
2. Al tomar $\sigma$ para ser la transposición que intercambia $\emptyset$ y $\{\emptyset\}$ (y arregla todo lo demás), muestran que Foundation puede fallar.
3. De forma más general, dejemos que $a$ es un conjunto cuyos miembros no son un único individuo, y que $\sigma$ sea la permutación que intercambia $x$ y $\{x\}$ para cada $x\in a$ . Demostrar que $(V,\in^\sigma)$ satisface una versión débil de Foundation que dice que todo conjunto no vacío $x$ tiene un miembro $y$ que satisfaga $x\cap y=\emptyset$ o $y=\{y\}$ .

1. Extensión: $$(\forall x)(\forall y)[(\forall z)(z\in\sigma(x) \iff z\in \sigma(y))\implies \sigma(x)=\sigma(y)]$$ Y $\sigma(x)=\sigma(y)$ implica $x=y$ como $\sigma$ es una permutación.

   Separación: $$(\forall t_1)\ldots(\forall t_n)(\forall x)(\exists y)(\forall z)[z\in\sigma(y)\iff (z\in\sigma(x)\land \phi)]$$

   Conjunto vacío: $$(\exists x)(\forall y)(\neg (y\in\sigma(x)))$$

   Juego de parejas: $$(\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall t)[t\in\sigma(z)\iff(t=x\lor t=y)]$$

   Unión: $$(\forall x)(\exists y)(\forall z)[z\in\sigma(y)\iff(\exists t)(\sigma(t)\in\sigma(x)\land z\in\sigma(t)]$$ Me sale $(\forall x)(\exists y)(\forall z)[z\in^\sigma y\iff(\exists t)(\sigma(t)\in^\sigma x\land z\in^\sigma t]$ que no es exactamente el axioma de unión ( $\sigma(t)$ en lugar de $t$ ). ¿Cómo puedo arreglar esto?

   Conjunto de energía: $$(\forall x)(\exists y)(\forall z)(z\in\sigma(y)\iff z\subseteq x)$$

   Infinito: $$(\exists x)(\emptyset \in\sigma(x))\land(\forall y)(y \in\sigma(x)\implies y\cup\{y\}\in \sigma(x))$$

   Sustitución: $$(\forall w_1,\ldots,w_n)((\forall y,y')((\phi\land\phi[y'/y])\implies(y=y'))\implies((\forall u)(\exists v)((\forall y)(y\in \sigma(v))\iff(\exists x)((x\in \sigma(u))\land\phi)))$$

2. Obtenemos $\emptyset\in\emptyset$ ¿No es ya suficiente?

3. Para un conjunto determinado $x$ si ninguno de sus miembros ha estado en $a$ en la estructura anterior, entonces debe haber un $y$ satisfaciendo $x\cap y=\emptyset$ desde $(V,\in)$ satisface ZF. Así que podemos encontrar un $y\in^\sigma x$ con $y\in a$ . Pero, ¿significa eso que $y=\{y\}$ ? Me cuesta aplicar la extensionalidad en la nueva estructura. Por un lado tenemos $y\in^\sigma y$ y $z\not\in^\sigma y$ para todos $z\neq y$ que se parece a $y = \{ y\}$ . Por otro lado, hay elementos $z\in^\sigma\{y\}$ con $z\neq y$ , es decir, los elementos de $y$ en la estructura original. ¿La igualdad ya no es simétrica después de aplicar la permutación?

Answer 1

Continuando con mis comentarios, diría que las otras pruebas, excepto la 3, parecen estar bien.

Para la 3, creo que tu argumento en contra de los conjuntos con intersección vacía con $a$ parece incompleta, porque $(V,\in)\models \mathsf{regularity}$ parece no implicar su afirmación, que un conjunto $x$ que no contiene elementos en $a$ tiene algún elemento $y$ tal que $x\cap y = \varnothing$ . El "cierre transitivo" de $x$ puede contener algunos elementos en $a$ aunque $x$ no lo es.

Mi sugerencia para probar 3 es definir una jerarquía del universo y definir un rango de la jerarquía. Voy a describir los detalles a continuación:

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• $V_0(a) = a$

• $V_{\alpha+1}(a) = \mathcal{P}^{(V,\in^\sigma)}(V_\alpha)$ .

• $V_{\alpha}(a) = \bigcup^{(V,\in^\sigma)}\{V_\xi : \xi<\alpha\}$ para el límite $\alpha$ .

donde $\mathcal{P}^{(V,\in^\sigma)}$ y $\bigcup^{(V,\in^\sigma)}$ son la operación de conjunto de potencia y la operación de unión relativizadas al modelo $(V,\in^\sigma)$ sus definiciones son las mismas que las del conjunto de potencias ordinarias y la unión, excepto que $\in$ se sustituye por $\in^\sigma$ .

Para cada $x$ , definir un rango $\rho(x)$ como sigue: $$\rho(x) = 1+\min\{\alpha:x\subseteq^\sigma V_\alpha(a)\}.$$ Por ejemplo, los rangos del conjunto vacío y los elementos en $a$ son 0. Ahora divide el caso:

1. $x$ contiene un elemento de rango 0.

2. $x$ no tiene ningún elemento de rango 0.

En el caso 2, aunque todos los elementos tienen un rango distinto de cero, algún elemento de $x$ tiene mínimo rango. Consideremos ahora dicho conjunto $y$ . Puede ver que si $z\in^\sigma y$ entonces $\rho(z)\le \rho(y)$ y la desigualdad es estricta si $\rho(y)>0$ . A partir de esto se puede completar la prueba.

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Me doy cuenta de que hay una prueba directa más sencilla. Aquí hay un detalle: Dividimos los casos. Para un determinado $x$ ,

Caso 1. Si $(x\in a)^{(V,\in)}$ , toma $y=x$ .

Caso 2. Si $(x\cap a\neq\varnothing)^{(V,\in)}$ podemos encontrar algunos $y$ tal que $(y\in x\cap a)^{(V,\in)}$ . Tome tal $y$ .

Caso 3. Si $x$ no satisface ninguna de las condiciones descritas anteriormente, ninguno de los elementos en $x$ ni $x$ se permutan por $\sigma$ . Si $y$ es un $\in$ -elemento mínimo de $x = \sigma(x)$ entonces $\sigma(y)=y$ . Por lo tanto, si $z\in\sigma(x)$ entonces $z\notin y = \sigma(y)$ .