Mostrar a y B tienen en común un autovalor

Question

Vamos a, B y C del complejo de las matrices cuadradas tales que: $ C\neq 0 $ $AC=CB $ probar que a y B tiene el mismo autovalor.

Vale la pena mencionar que anteriormente en la tarea que se me han demostrado que, a $A^{n}C=CB^{n}$, pero no estoy seguro de cómo usarlo.

Esto es tomado de un álgebra lineal 2 del curso.

Answer 1

Deje $M$ el polinomio mínimo de a $A$, e $N$ el polinomio mínimo de a $B$. Vamos a mostrar que $M$ $N$ tienen una común raíz (y esto va a demostrar la afirmación). Supongamos que no. Entonces existe $U$, $V$ polinomio tal que $M(X)U(X)+N(X)V(X)=1$. Ahora que han demostrado que $A^nC=CB^n$ todos los $n$. Esto implica $M(A)C=CM(B)=0$. Por lo tanto $CM(B)U(B)=0$ y, por supuesto,$CN(B)V(B)=0$. Llegamos $C(M(B)U(B)+N(B)V(B))=0=CI=C$, una contradicción.

Answer 2

Deje $v_j$ ser un autovector de a $B$ con autovalor $\lambda_j$.

Entonces

$A C v_j = C B v_j \Rightarrow A (C v_j) = C (\lambda_j v_j) \Rightarrow A (C v_j) = \lambda_j (C v_j) $

Por lo tanto, $(C v_j)$ es un autovector de a $A$ con el mismo autovalor.

Answer 3

Ha me ha estado molestando a encontrar una respuesta sin (directamente) utilizando el polinomio mínimo. Aquí está:

Desde $A^nC=CB^n$, es fácil ver que para cualquier $\lambda$ $k\ge 0$ hemos $(A-\lambda I)^k C = C (B-\lambda I)^k$.

Supongamos $\lambda \not \in \sigma(A)$. A continuación,$C=(A-\lambda I)^{-k} C (B-\lambda I)^k$. En particular, si $v \in \ker (B-\lambda I)^k$,$Cv=0$.

Por lo tanto, si los espectros no se superponen, debemos tener $C=0$ (desde $\mathbb{C}^n ={+} _{\lambda \in \sigma(B)} \ker (B-\lambda I)^{m_\lambda} $).