¿Existe un número primo máximo que no sea una suma de primos consecutivos?

Question

Dejemos que $\mathcal S=\{p\in\mathbb P|\exists m,n\in\mathbb Z_+:p=p_n+\cdots+p_{n+m}\}$ . Para los primos "pequeños", no muy superiores a un millón, parece que aproximadamente la mitad de los primos pertenecen a $\mathcal S$ . Pero a mayor número de primos, más combinaciones de primos consecutivos disponibles.

Hay $\pi(p)$ primos menores o iguales a $p$ y el número de secuencias primos disponibles es $1\cdot\pi(p)+2\cdot(\pi(p)-1)+3(\pi(p)-2)+\cdots+(\pi(p)-1)\cdot 2=$ $\displaystyle\frac{\pi(p)^3+3\pi(p)^2+4\pi(p)}{6}$
(Si lo he calculado bien).

Supongo que es posible utilizar el teorema de los números primos para estimar la probabilidad de $p\in\mathcal S$ pero estoy bastante seguro de que lo estropearía.

Mis preguntas son:

Hace $P(p\in\mathcal S)\to 1$ como $p\to\infty$ ?
¿Se puede demostrar que existe un número primo máximo que no sea una suma de primos consecutivos?

Ver también ¿Con qué frecuencia una suma de $k$ ¿los primos consecutivos también son primos? que es una pregunta similar pero no equivalente.

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Esto es lo que tengo hasta ahora. No apoya mi intuición, pero lo dejaré correr hasta $10,000,000$ o más.

Answer 1

A067377 podría ayudar. He empezado una carrera más grande para trazar el comportamiento.

mm = Seleccionar[ Unión[Aplanar[ Tabla[Total /@ Partición[Prime[Rango[200000]], n, 1], {n, 2, 1000}]], PrimeQ];

Este es el comportamiento. Aproximadamente el 44% de los primos son sumas de primos consecutivos en ese punto. Caótico.