La medida de la diagonal de un cuadrado unitario en una medida alternativa.

Question

Normalmente, decimos que la medida de la diagonal de un cuadrado unitario es 0, pero eso es con la preasunción de que la medida es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ . Pero, ¿y si hablamos de una medida extraña que es el producto de una medida de Lebesgue unidimensional y una medida de recuento? Para ser precisos:

Dejemos que $X=Y=[0,1]$ , $\mathcal{M}=\mathcal{N}=\mathcal{B}_{[0,1]}$ , $\mu=$ medida de Lebesgue, y $\nu=$ medida de recuento. Si $D=\{(x,x):x\in[0,1]\}$ es la diagonal en $X\times Y$ Entonces, ¿qué es $(\mu\times\nu)(D)$ ?

Según la definición, debe ser el ínfimo de la suma de medidas de todos los posibles "rectángulos" de cobertura de $D$ . Pero en esta medida $\mu\times\nu$ En este caso, los únicos rectángulos que tienen medidas finitas son los que tienen una "altura" finita o una "anchura" nula de Lebesgue, pero está claro que no se puede cubrir la diagonal con esas tiras finas (o más bien segmentos de línea 1-d en el primer caso). ¿Significa eso que esta diagonal tiene una medida $\infty$ ?

Answer 1

Este es el ejercicio 46 de Análisis real por Folland. Sí, $(\mu\times \nu)(D)=\infty$ . La razón es que cualquier cobertura finita (o contable) de la diagonal por rectángulos contendrá un rectángulo de altura y anchura no nulas, y tal rectángulo tiene medida infinita. Siguiendo la construcción de la medida del producto, vemos que es infinita en $D$ .

El ejercicio tiene otras dos partes, relativas a las integrales iteradas: $$\int \int \chi_D \,d\mu(x)\,d\nu(y) =\int 0 \,d\nu(y) = 0 $$ $$\int \int \chi_D \,d\nu(y)\,d\mu(x) =\int 1 \,d\mu(x) = 1 $$ en contraste con $$\iint \chi_D \,d(\mu\times \nu) =(\mu\times \nu)(D)=\infty $$ El teorema de Fubini-Tonelli no se aplica, ya que $\nu$ no es $\sigma$ -finito.