Me gustaría saber si es o no un número primo $ p $ puede ser escrita en la forma $$ p = 3A + 2B, $$ donde $ A $ $ B $ son enteros positivos.
Respuesta
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Esta es una aplicación de la Frobenius de la Moneda Problema, cuya solución está dada por el siguiente teorema.
Teorema Suponga que $ m,n \in \mathbb{N} $ satisfacer $ \gcd(m,n) = 1 $. A continuación, $ mn - m - n $ es el mayor entero que no puede ser escrito como $ ma + nb $ donde $ a,b \in \mathbb{N}_{0} $.
Observar que $ 3A + 2B = 3(A - 1) + 2(B - 1) + 5 $. Como $ \gcd(3,2) = 1 $, el teorema de los rendimientos de las siguientes declaraciones:
Cualquier entero $ > 3 \cdot 2 - 3 - 2 = 1 $ puede ser escrito como $ 3a + 2b $ donde $ a,b \in \mathbb{N}_{0} $.
Cualquier entero $ > 1 $ por lo tanto puede ser escrito como $ 3(A - 1) + 2(B - 1) $ donde $ A,B \in \mathbb{N} $.
Por lo tanto, cualquier entero $ > 1 + 5 = 6 $ puede ser escrito como $ 3A + 2B $ donde $ A,B \in \mathbb{N} $.
Observe que los números $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $ y $ 6 $ no se puede poner en la forma requerida, mientras que el $ 5 = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 $. Por lo tanto, la respuesta a tu problema es"todos los números primos $ \geq 5 $'.
