¿Cómo puedo encontrar esta suma: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p(n)}$$ donde
$p(n)=\dfrac{n(3n-1)}{2}$ $n$th número pentagonal?
Sé que es una serie convergente, pero no sé si la suma se puede encontrar en forma cerrada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Otra forma de hacerlo es utilizar básicos de cálculo sin utilizar la función digamma: Vamos a $$ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(3n-1)}x^{3n}. $$ Claramente $\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{n(3n-1)}=f(1)$. Nota $$ f'(x)=6\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3n-1}x^{3n-1},f''(x)=6\sum_{n=1}^\infty x^{3n-2}=\frac{6x}{1-x^3}. $$ Así \begin{eqnarray} f(1)&=&\int_0^1\int_0^x\frac{6t}{1-t^3}dtdx\\ &=&\int_0^1\int_t^1\frac{6t}{1-t^3}dxdt\\ &=&\int_0^1\frac{6t(1-t)}{1-t^3}dt\\ &=&\int_0^1\frac{6t}{1+t+t^2}dt\\ &=&\int_0^1\frac{6t}{(t+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}dt\\ &=&3\ln3-\frac{\pi}{\sqrt3}. \end{eqnarray}
Robert Christie
Puntos
7323
El uso de $$ \frac{1}{p(n)} = 2 \left( \frac{1}{n-\tfrac{1}{3}} - \frac{1}{n} \right) $$ y la definición de la función digamma: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p(n)} = -2 \left( \psi\left(\frac{2}{3}\right) + \gamma \right) = 3 \ln(3) - \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx 1.48204 $$
El valor de la $\psi\left(\frac{2}{3}\right)$ puede ser derivada de la $\psi\left(\frac{1}{3}\right)$, los estados en la tabla de valores especiales mediante la reflexión de la identidad.
