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Aproximación de sinπx 1x1

Estoy atascado en el siguiente problema: Quiero dar una aproximación de sin(πx)1x1, cuando se utiliza el polinomio FN(x)=Nk=0akx2k+1 con los coeficientes ak elegidas para minimizar la integral: F(a0,a1,aN)=11(FN(x)sinπx)2dx Es posible demostrar que: Nk=0ak2(k+j)+3=Ij=10x2j+1sinπxdx for j=0,1,N.

Empecé por F(a0,a1,aN)=11(Nk=0akx2k+1sinπx)2dx

Pero para ser honesto, no tengo ni idea de por dónde empezar y por dónde continuar. Espero que alguien me pueda ayudar

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FBiersack Puntos 233

Creo que su inicio es correcta. Considere la posibilidad de F(a0,,aN)=11(Nk=0akx2k+1sin(πx))2dx El uso de la L2 producto escalar f,g:=11f(x)g(x)dx y el correspondiente L2norma , puede volver a escribir a partir de la expresión como (utilizando la abreviatura \sum \dots para la suma y suponiendo que todos los coeficientes son reales, es decir, a_j \in \mathbb{R} todos los j) F(a_0, \dots, a_N) = \int \limits_{-1}^1 \left( \sum \limits_{k=0}^N a_k x^{2k+1} - \sin(\pi x) \right)^2 dx = \left\| \sum \dots - \sin(\pi x) \right\|_2^2 = \\ = \langle \sum \dots \sum \dots \rangle - 2 \langle \sum \dots, \sin(\pi x) \rangle + \langle \sin(\pi x), \sin(\pi x) \rangle Debido a la linealidad del producto escalar, podemos escribir esto como \sum \limits_{k,j=0}^N a_k a_j \int \limits_{-1}^1 x^{2(k+j)+2} dx - 2 \sum \limits_{j=0}^N a_j \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx + \int \limits_{-1}^1 \sin^2(\pi x) dx en el que se evalúa a \sum \limits_{k,j=0}^N a_k a_j \int \limits_{-1}^1 x^{2(k+j)+2} dx - 2 \sum \limits_{j=0}^N a_j \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx + 1 La primera integral, simplemente tiene el valor de \frac{2}{2(k+j)+3} por la integración de primaria. Ahora factorización de la suma con el índice de j finalmente se obtiene: 2 \sum \limits_{j = 0}^N a_j \left( \sum \limits_{k=0}^N \frac{a_k}{2(k+j)+3} - \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx \right) + 1 La expresión entre corchetes de los rendimientos exactamente el término I_j que estás buscando.

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