Aproximación de $\sin \pi x$ $-1 \leq x \leq 1$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema: Quiero dar una aproximación de $\sin(\pi x)$$-1 \leq x \leq 1$, cuando se utiliza el polinomio $$F_N(x)=\sum_{k=0}^{N}a_kx^{2k+1}$$ con los coeficientes $a_k$ elegidas para minimizar la integral: $$F(a_0, a_1, \cdots a_N)=\int_{-1}^{1}(F_N(x) - \sin \pi x)^2dx$$ Es posible demostrar que: $$\sum_{k=0}^{N}\frac{a_k}{2(k+j)+3}= I_j = \int_{0}^{1}x^{2j+1} \sin \pi x dx$$ for $j=0,1, \cdots$N.

Empecé por $$F(a_0, a_1, \cdots a_N)=\int_{-1}^{1}\left(\sum_{k=0}^{N}a_kx^{2k+1}- \sin \pi x\right)^2dx$$

Pero para ser honesto, no tengo ni idea de por dónde empezar y por dónde continuar. Espero que alguien me pueda ayudar

Answer 1

Creo que su inicio es correcta. Considere la posibilidad de $$ F(a_0, \dots, a_N) = \int \limits_{-1}^1 \left( \sum \limits_{k=0}^N a_k x^{2k+1} - \sin(\pi x) \right)^2 dx $$ El uso de la $L^2$ producto escalar $$ \langle f, g \rangle := \int \limits_{-1}^1 f(x) g(x) dx $$ y el correspondiente $L^2$norma $\| f \|_2 := \sqrt{\langle f, f \rangle}$, puede volver a escribir a partir de la expresión como (utilizando la abreviatura $\sum \dots$ para la suma y suponiendo que todos los coeficientes son reales, es decir, $a_j \in \mathbb{R}$ todos los $j$) $$ F(a_0, \dots, a_N) = \int \limits_{-1}^1 \left( \sum \limits_{k=0}^N a_k x^{2k+1} - \sin(\pi x) \right)^2 dx = \left\| \sum \dots - \sin(\pi x) \right\|_2^2 = \\ = \langle \sum \dots \sum \dots \rangle - 2 \langle \sum \dots, \sin(\pi x) \rangle + \langle \sin(\pi x), \sin(\pi x) \rangle $$ Debido a la linealidad del producto escalar, podemos escribir esto como $$ \sum \limits_{k,j=0}^N a_k a_j \int \limits_{-1}^1 x^{2(k+j)+2} dx - 2 \sum \limits_{j=0}^N a_j \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx + \int \limits_{-1}^1 \sin^2(\pi x) dx $$ en el que se evalúa a $$ \sum \limits_{k,j=0}^N a_k a_j \int \limits_{-1}^1 x^{2(k+j)+2} dx - 2 \sum \limits_{j=0}^N a_j \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx + 1 $$ La primera integral, simplemente tiene el valor de $\frac{2}{2(k+j)+3}$ por la integración de primaria. Ahora factorización de la suma con el índice de $j$ finalmente se obtiene: $$ 2 \sum \limits_{j = 0}^N a_j \left( \sum \limits_{k=0}^N \frac{a_k}{2(k+j)+3} - \int \limits_{-1}^1 \sin(\pi x) x^{2j+1} dx \right) + 1 $$ La expresión entre corchetes de los rendimientos exactamente el término $I_j$ que estás buscando.