Álgebra de Boole

Question

Acabo de empezar a leer el libro Teoría de la Probabilidad la Lógica de la Ciencia por Jaynes y en la pg. 13 se incluye este ejercicio, que estoy teniendo problemas para probar:

$C\equiv(A+\bar B)(\bar A+A \bar B)+\bar AB(A +B)$

"... se deja para que el lector compruebe que $C$ es, lógicamente, la misma declaración como la implicación $C=(B\implies \bar A)$"

Estoy recibiendo $C=(\bar B + \bar AB)$ cuando pienso en $(B\implies \bar A)$ significa que yo debería estar recibiendo $C=(\bar B + \bar A)$.

Podría alguien por favor, muéstrame cómo probar esto?

Creo que estoy atascado en la parte específica, $\bar B + \bar AB == \bar B + \bar A$?

Answer 1

$$\begin{align} C &\equiv (A+\bar B)(\bar A+A \bar B)+\bar AB(A +B)\tag 1\\ \\ &\equiv \underbrace{A(\bar A)}_{\large \text F}+ A(A\bar B) + \bar B(\bar A) +\bar B A\bar B + \underbrace{\bar AB A}_{\large\text{F}}+ \bar ABB \tag 2 \\ \\ &\equiv F + A\bar B+ \bar A\bar B + A \bar B+ F + \bar AB\tag 3 \\ \\ &\equiv A\bar B + \bar A \bar B+ \bar AB\tag 4\\ \\ &\equiv (\underbrace{A+\bar A}_{\large\text{T}})\bar B + \bar AB \tag 5\\ \\ &\equiv \bar B + \bar AB \tag 6\\ \\ &\equiv (\bar B + \bar A)(\underbrace{\bar B +B}_{\large T})\tag{7} \\ \\ &\equiv \bar B + \bar A \tag{8} \end{align}$$

Answer 2

Mediante la complementación y idempotence: $\bar B+\bar AB ~{= (A+\bar A)\bar B+\bar AB \\= (A+\bar A+\bar A)\bar B+\bar AB \\= (A+\bar A)\bar B+ \bar A(\bar B+\bar B)\\=\bar B+\bar A}$

Distribución: $\bar B+(\bar A)(B) ~{= (\bar B+\bar A)(\bar B+B) \\= \bar A+ \bar B}$

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Tenga en cuenta también: $(\bar A +B)\bar B ~{= \bar A\bar B+B\bar B \\= \bar A \bar B}$