La creación de un Poder de Serie con un Intervalo de Convergencia, Dado un Intervalo

Question

Así que yo sé que para determinar un intervalo de tensión de una serie, podríamos usar cosas como la proporción de la prueba y, a continuación, algunos de los otros exámenes para determinar los extremos pero, ¿cómo usted va sobre hacer a la inversa?

Si hemos tenido ningún intervalo como (a,b], [a,b], [a,b), o (a,b), ¿cómo ir sobre la creación de un poder de la serie que tendría ese intervalo?

Una observación que estaba pensando, ya que la expresión general para una potencia de la serie contiene $(x-c)$ cuando la serie se centra en torno a $c$, la tenemos para que $c$ = $(a+b)/2$

Hay una forma sistemática de hacer tal cosa?

Answer 1

Absolutamente, y tienes un buen comienzo. Comience con una potencia de serie con radio de convergencia $1$ sobre el origen. Dos preguntas:

1) ¿Cómo se consigue obtener una potencia de serie de la radio de convergencia $c$ a partir de esto?

2) ¿Cómo se puede mover el centro del intervalo de a donde quieres?

Sugerencia: Ninguno de estos es duro.

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Ejemplo:

Supongamos que elegimos $\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}$ como una serie con radio de convergencia $1$. Cómo podemos cambiarlo para obtener una serie de radio de convergencia $2$? Todo lo que tenemos que hacer es cambiar de $x$ $\frac{x}{2}.$El radio de convergencia de $$\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{x}{2}\right)^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{2^{-n}x^n}$$ is $2$. The series converges when $$\left|\frac{x}{2}\right|<1\iff |x|<2.$$

Ahora supongamos que queremos una serie que converge en el intervalo de $(-1,3).$ Como se señaló queremos un radio de convergencia de $2$ y el intervalo debe estar centrada en $x=1$. Hemos construido una serie con radio de convergencia $2$, pero se centra en $0$. Para moverlo a $1$ nos acaba de hacer un desarrollo en serie de Taylor con los mismos coeficientes, pero centrado en $1$. $$\sum_{n=0}^{\infty}{2^{-n}(x-1)^n}$$ This converges when $$|x-1|<2\iff -2<x-1<2\iff -1<x<3$$