¿Puedo tomar la integral de un dominio mi función no está bien definida?

Question

¿Puedo escribir la integral en el dominio $(0,4)$ : $\displaystyle \int_0^4 \left(\frac{2}{x^{0.5}}-1\right) \,\mathrm{d}x$ cuando sé que la antiderivada de la función es $[4x^{0.5}-x+c]_0^4$ ? Porque la antiderivada tiene valor real para ambos $4$ y $0$ pero la función de la que tomo la integral no tiene valor real en $0$ .

Answer 1

Sí, puedes hacerlo. Esto es lo que se llama un integral impropia . Para que esto sea viable, reescribimos la integral como un límite. $$\lim_{a\to 0^+} \int_{a}^{4} \left(\frac{2}{x^{0.5}} - 1\right) ~{\rm d} x$$ Como la función interior no está definida en $0$ , tenemos que tomar el límite del lado positivo de la función. Continuando con esto, evaluando la integral nos da $$\lim_{a\to 0^+} [4\sqrt{x} - x]_{a}^{4} = \lim_{a\to 0^+} \left(4\sqrt{4} - 4 - 4\sqrt{a}+a\right)$$ Dado que esta nueva función se define en $0$ Podemos simplemente conectarlo. $$4\sqrt{4} - 4 - 4\sqrt{0} + 0 = 8 - 4 = 4$$ También se pueden utilizar integrales impropias con límites al infinito. Por ejemplo: $$\int_{-\infty}^x e^x = \lim_{a\to -\infty} \int_a^x e^t ~{\rm d}t = \lim_{a\to -\infty} e^x - e^a = e^x$$

Answer 2

Sí, es posible.

Método: Definición límite de la integral

Dejemos que $f(x)=2x^{-1/2}-1$ . Como el intervalo es $[0,4]$ podemos dividirlo en $n$ intervalos, cada uno con una anchura $$\Delta x=\frac4n.$$ Ahora el extremo derecho del $i$ subintervalo es $x_i^*=4i/n$ por lo que tenemos que $$\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x=\sum_{i=1}^n \left(\frac2{\sqrt{\frac{4i}n}}-1\right)\cdot\frac4n=\sum_{i=1}^n\left(\frac4{\sqrt{in}}-\frac4n\right)$$

Por lo tanto, $$\int_0^4\left(\frac2{\sqrt x}-1\right)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x=\lim_{n\to\infty}\left(4\sum_{i=1}^n\left(\frac1{\sqrt{in}}\right)-4\right)=4\cdot2-4=\color{red}4$$ utilizando el Serie Puiseux .