Forma más sencilla de comprobar si el número es primo o no

Question

Recientemente me encontré con un video en YouTube que explica la forma más sencilla de comprobar si el número dado es primo o no la ecuación fue:

$$\frac{2^x - 2}{x}$$

De acuerdo a ese video si $x$ es un número primo, se le dará un número entero como un resultado. Si $x$ no es un número primo, se le dará un número con decimales como resultado.

Por ejemplo 6, el resultado es 10.333... así que no es un número primo. para el 7, el resultado es 18, así que es un número primo.

He probado algunos de número y encontraron que esto es cierto para la mayoría de la serie, ¿Cómo es esto posible? esta es una ecuacion correcta.

Ver el video completo aquí: https://youtu.be/AUn7h05A8WM

Answer 1

La afirmación correcta es: para todos los enteros impares positivos $n$ si $n$ es primo, entonces $n$ divide $2^n-1$.

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Aquí hay una rápida prueba: Para cualquier prime $p$$k< p$, sabemos que $p$ no pueden dividirse $k!$, pero $p$ sí divide $p!$. Por lo tanto $$p\mid{p\choose k}$$ para todos los $p>k>0$. Para todos los enteros positivos $a$, por la fórmula binominal: $$2^p=(1+1)^p=\sum_{k=0}^{p}{p\choose k}$$ $p$ divide a todos los términos de esta suma, excepto donde se $k=0$$k=p$, por lo que hay algunos entero $n$ tal forma que:

$$2^p=pn+{p\choose 0}1^0+{p\choose p}1^p=pn+2$$ por lo $2^p-2=pn$, lo $2^p-2$ es divisible por $p$.

Answer 2

Mwahahahaha! Me encanta cómo a menudo los seres humanos están atrapados en la trampa de los números pequeños. Mostrar algo que es verdad para unos pequeños números y, a continuación, piensan que es verdadera para todos los números.

Se ve que para $n = 2$, el único primo par, obtenemos $$\frac{2^n - 2}{n} = \frac{4 - 2}{2} = 1,$$ but for all higher even $n$, it is easy to see that $$\frac{2^n - 2}{n}$$ será un número racional, pero no un entero.

Luego de la extraña $n$, invocan de Fermat poco teorema. Así, muchos prejuicios con que uno: debe ser llamado de Fermat gran teorema si de hecho había llegado con él. El Hada de los Dientes, Santa Claus y los antiguos Chinos conocían de mucho antes de Fermat.

De todos modos, el gran teorema nos dice que $a^p \equiv a \pmod p$ si $p$ es el primer y $\gcd(a, p) = 1$. Así que si $p$'s de un extraño prime, es coprime a $2$ y, por tanto, $2^p - 2$ es un múltiplo de a $p$.

Sin embargo, esto no garantiza que extraño compuesto de números. Sugerencia: usar la aritmética modular si los números son demasiado grandes para su calculadora.