Encontrar la probabilidad de que Rahul examina menos políticas de toby

Question

$$ \underline{ \bf Attempt} $$

Deje $X$ $Y$ ser las políticas examinadas por rahul y toby, respectivamente. Por la forma de este problema es el enunciado tenemos dos Bernoulli r.v. Por ejemplo, $X$ tiene probabilidad de éxito de $0.1$, lo que

$$ p_X(x) = {n \choose x} 0.1^x 0.8^{n-x}$$

y del mismo modo

$$ p_Y(y) = {n \choose y} 0.2^y 0.9^{n-y} $$

Ahora, desde la $X$ $Y$ son dados a ser independiente, tenemos

$$ p_{XY}(x,y) = {n \choose x} {n \choose y} 0.1^x 0.8^{n-x} 0.2^y 0.9^{n-y} $$

Ahora, queremos saber

$$ P(X<Y) $$

Pero, para el caso discreto, ¿cómo hacemos esto? Qué hacemos

$$ \sum_{x<y} p_{XY}(x,y) $$

Tal vez mi solución no es realmente el derecho a hacer este problema?

Answer 1

Descargo de responsabilidad

Aquí asumo que el número de pólizas son infinitas.

Raúl punto de vista

1. Examinar la primera directiva. Si se cumple el requisito, Raúl se detiene. En este caso la probabilidad es $0.1$. Entonces la probabilidad de que se analiza $1$ política $0.1$.
2. De lo contrario, con una probabilidad de $0.9$, se analiza el segundo. Él se detiene con una probabilidad de $0.1$. Entonces la probabilidad de que se analiza $2$ políticas de es $0.1 \cdot 0.9$.
3. De lo contrario, con una probabilidad de $0.9$, se analiza la tercera. Él se detiene con una probabilidad de $0.1$. Entonces la probabilidad de que se analiza $3$ políticas de es $0.1 \cdot 0.9^2$.

En general:

$$p_{X}(x) = 0.1 \cdot 0.9^{x-1},$$

es la probabilidad de que Rahul wil examinar exactamente $x$ políticas. Para Toby, tenemos un resultado similar:

$$p_{Y}(y) = 0.2 \cdot 0.8^{y-1}.$$

Los cálculos

En este caso:

$$\begin{eqnarray}p(X < Y) & = & \sum_{y=2}^{+\infty} \sum_{x=1}^{y-1}p_{X}(x)p_{Y}(y) \\ & =& \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.9 \cdot 0.8} \sum_{y=2}^{+\infty} \sum_{x=1}^{y-1} 0.9^x 0.8^y \\ & =& \frac{1}{36} \sum_{y=2}^{+\infty} 0.8^y \left(\sum_{x=1}^{y-1} 0.9^x\right). \end{eqnarray} $$ Recordando que:

$$\sum_{i=1}^{m-1} r^i = \frac{r- r^m}{1-r},$$

obtenemos:

\begin{eqnarray}p(X < Y) & = & \frac{1}{36} \sum_{y=2}^{+\infty} 0.8^y \frac{0.9 - 0.9^y}{1-0.9} \\ & = & \frac{1}{36 \cdot 0.1} \left(0.9\sum_{y=2}^{+\infty} 0.8^y - \sum_{y=2}^{+\infty} 0.72^y\right). \\ \end{eqnarray}

Además, dado que:

$$\sum_{i=2}^{+\infty} r^i = \frac{r^2}{1-r} ~\text{for}~ |r|<1,$$

entonces:

$$\begin{eqnarray}p(X < Y) & = &\frac{1}{36 \cdot 0.1} \left(0.9\frac{0.8^2}{1-0.8} - \frac{0.72^2}{1-0.72}\right) \simeq 0.2857. \\ \end{eqnarray} $$

Comentarios finales

En mi humilde opinión, el problema requiere el uso de la variable aleatoria geométrica, no binomial. El binomio se utiliza para establecer la probabilidad de que en un (finito) grupo de $n$ políticas de que usted encontrará exactamente $x$ (o $y$) de buenas políticas. Esto no es coherente con la solicitud del problema. El problema tiene un "stop" condición: examinar hasta encontrar una buena política.

Por otro lado, el uso de la geometría variable aleatoria, debe asumir que el número de políticas a ser examinado es infinito. Este problema puede ser resuelto. De hecho, si $n$ es el número de directivas disponibles para Rahul (y a Toby), se obtiene que:

$$p_{X}(x) = \begin{cases} 0.1 \cdot 0.9^{x-1} & \text{if}~ x \leq n-1\\ \displaystyle \frac{0.9^n-0.1}{0.9} & \text{if}~ x = n \end{casos},$$

y

$$p_{Y}(y) = \begin{cases} 0.2 \cdot 0.8^{x-1} & \text{if}~ x \leq n-1\\ \displaystyle \frac{0.8^n-0.2}{0.8} & \text{if}~ x = n \end{casos}.$$

Los términos de $x=n$ se utiliza para decir que, cuando llegue a $n$-ésimo de la política, de si es bueno o no, no se detenga, ya que no tienen otras políticas para examinar.

A partir de entonces, el uso de estas probabilidades, se puede actuar de una manera similar para obtener la probabilidad de $P(X < Y)$.