Optimización de la superficie de un volumen

Question

Uno de mis hijos recibió esta tarea y estamos un poco desorientados por la forma en que se plantean las preguntas (más que por el cálculo en realidad). Esta es exactamente la redacción y el diseño de la tarea:

Consideremos una lata de aluminio: por ejemplo, una lata de Coca-Cola. ¿Tienen estas latas las dimensiones correctas? ¿Qué significa "correctas"? ¿Por qué otros productos envasados en recipientes de otras formas?

Pregunta:

• Una lata normal tiene un volumen de 355 cm3. ¿Qué forma contendrá este volumen de líquido utilizando la menor cantidad de aluminio (minimizando superficie)?

• Demuestra tu conclusión comparando 2 formas diferentes además de un cilindro.

• Considere la posibilidad de definir las variables adecuadas y exponer todas y cada una de las suposiciones que haga.

• Utiliza la diferenciación para encontrar el valor de tu variable que minimice el volumen de metal utilizado para fabricar el recipiente. ¿Existe otro método que puedas utilizar para justificar tu modelo?

• ¿Los contenedores reales tienen esta forma? ¿Por qué sí o por qué no?

• Debatir qué modelo se ajusta mejor al contenedor real, justificando las diferencias, si las hubiera.

A continuación, se le informa de que la parte superior circular a tiene un espesor de 0,2 mm, pero que la superficie curva tiene un espesor de 0,Imm.

• Nist Inc. desea lanzar una lata de nuevo tamaño que tiene una capacidad de 200 ml. Utilizando su modelo, encuentre las dimensiones de la lata que minimizar el volumen de metal utilizado para fabricar la lata.

• ¿Cree que Nist Inc. utilizaría estas dimensiones? ¿Por qué sí o por qué no?

En primer lugar, ten en cuenta que hasta ahora sólo han visto derivadas (aún no integrales). En segundo lugar, comprenda que no somos hablantes nativos de inglés, por lo que decodificar las frases es parte del problema.

Encontrar la altura y el radio óptimos del cilindro es bastante trivial:

• Hallar la ecuación de restricción (volumen en función de la altura)
• Hallar la ecuación de optimización (superficie).
• Introduce la altura de la ecuación de volumen en la ecuación de optimización
• Deriva esa ecuación y hazla igual a cero
• Resuélvela para el radio e introduce el radio hallado en la ecuación de la altura.
• La respuesta le proporcionará la altura y el radio ideales para optimizar la superficie del cilindro.

Hasta aquí todo bien, parece que las latas reales son más o menos óptimas si se simplifican como cilindros puros (pero los deberes parecen considerar que hay otro "modelo" que se podría utilizar. He ido a comprobarlo en internet sin éxito. Este modelo parece el obvio).

Ahora bien, ¿tiene las "dimensiones correctas"? "y "¿por qué otros productos vienen envasados en recipientes de otras formas? Parece cualquier cosa menos puras preguntas matemáticas y parece depender de cómo veas las cosas (almacenamiento, comodidad para beber,..). Como estoy seguro de estar equivocado, no puedo entender qué respuestas se esperan aquí. Tal vez me estoy perdiendo el punto de dejarlo todo claro, de una vez.

¿Las dimensiones "correctas"? Para una lata de refresco, se acerca bastante a las medidas ideales sí, pero ¿es la respuesta esperada? Ni idea.

¿Qué significa "correcto"? Bueno... No sé lo que esta pregunta está pidiendo realmente. ¿En términos de matemáticas? ¿En términos de almacenamiento? ¿En términos de practicidad? ¿En términos de costes?

"¿por qué otros productos vienen envasados en recipientes de otras formas?" ¿Lo mismo aquí? Supongo que los cubos son más fáciles de almacenar. ¿Las tapas y fondos planos permiten apilar las cosas de forma más cómoda? Pero estoy bastante seguro de que no lo entiendo.

Además, se trata de un texto introductorio y justo después vienen una serie de preguntas. No sé si estas preguntas del texto introductorio son retóricas o si ya están pensadas para ser respondidas. Lo cual sería extraño, ya que aún no hay datos que lo condicionen.

Ahora vienen las preguntas de verdad:

"¿Qué forma contendrá este volumen de líquido utilizando la menor cantidad de aluminio (minimizando la superficie)?" Sería una esfera, sin duda. Pero, ¿cómo demostrarlo de forma trivial y absoluta? Parece intenso.

"Demuestra tu conclusión comparando 2 formas diferentes además de un cilindro". ¿Cómo podría demostrar algo una comparación no exhaustiva? Aquí tampoco lo entiendo. Podría hacer el cálculo para un cubo y luego para un cilindro y luego para una esfera para demostrar que disminuiría la superficie para un volumen dado, pero eso no sería una prueba de nada, ¿verdad? Lo único que podría decir es que "parece" que cuanto más nos acerquemos a una forma con un número infinito de lados (curvatura perfecta), más optimizaremos la superficie. Pero eso no demuestra nada, sobre todo si sólo tomamos otras 2 formas para llegar a esa conclusión.

"¿Hay algún otro método que pueda utilizar para justificar su modelo?" ¿Además de utilizar la derivada para encontrar la altura y el radio óptimos? No encuentro otra. ¿Estamos hablando ahora del modelo de esfera o del modelo de cilindro?

"¿Los contenedores reales tienen esta forma? ¿Por qué sí o por qué no?" ¿Esfera o cilindro? ¿De qué forma estamos hablando ahora?

"Discutir qué modelo se ajusta mejor al contenedor real, explicando las razones de las diferencias, si las hay". ¿Qué modelo hay que sea obvio, además del derivado? Parece que las preguntas no son lo suficientemente específicas.

"¿Cree que Nist Inc. utilizaría estas dimensiones? ¿Por qué sí o por qué no?" Aquí también estoy perdido. Puedo calcular las dimensiones perfectamente, pero parece que tengo que hacer el mismo razonamiento que en todas las preguntas anteriores... que ya son confusas.

Mi pregunta está a medio camino entre una pregunta matemática y una pregunta de comprensión. Pero si voy y pregunto en otro foro dedicado al inglés, es posible que no me ayuden por el aspecto matemático de esa tarea.

En definitiva, parece el mejor lugar para plantear la pregunta. Estoy seguro de que se me escapa el sentido de esa tarea, lo que hace que todas las preguntas me resulten bastante oscuras. Quizá alguna pista ayude a desbloquear la situación de una vez. Siento que me estoy perdiendo algo obvio. Eso es lo que pido.

Estoy seguro de que este post hará reír a algunos y me convertirá en un payaso, pero ten por seguro que la barrera del idioma no ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Ya que pides una opinión, aquí va la mía.

Yo también encuentro esta lista de preguntas de deberes algo desconcertante. Creo que entiendo el objetivo de la tarea: incrustar el problema rutinario de cálculo en una situación de la "vida real".

Dicho esto, creo que las partes de la pregunta que pretenden ser "reales" son en sí mismas bastante artificiales y demasiado vagas.

Si el curso realmente quiere enseñar a construir modelos matemáticos para aplicaciones en el mundo real, entonces debería dedicarse mucho tiempo a debatir en qué consiste un buen modelo, y menos tiempo a los rutinarios "problemas de palabras" de cálculo. Si esto formara parte explícita del plan de estudios y se hubiera tratado y debatido, entonces algo como esto (con preguntas más precisas) podría ser un ejercicio razonable.

Nadie vende refrescos en envases esféricos. Sería interesante preguntarse cuánto material extra se utilizaría para un prisma hexagonal de la misma altura que la lata de Coca-Cola; quizá no se quiera que la lata ruede. Y podrías meter esas latas en una caja con menos espacio desperdiciado (¿cuánto?). Eso también sería artificial, claro, pero quizá interesante.

Como indicas claramente, preguntar por el "modelo adecuado" no tiene sentido sin mucha más información: hay que especificar algún criterio de optimización razonable, algo más que minimizar el coste de material. Quizá las latas hexagonales cuesten más de fabricar.

Si mi hijo o hija trajera esto a casa, yo aprovecharía la oportunidad para discutir lo que el instructor pretendía conseguir, criticando cómo había construido las preguntas, y luego construyendo las respuestas que el instructor esperaba.

Answer 2

¿Por qué un cilindro? ¿Por qué no un cubo, una esfera o un paralelepípedo?

Una esfera tiene la mejor relación superficie/volumen, pero entonces dónde pondrías la abertura, y rodarían de las estanterías, etc.

Si se trata de un cilindro, las variables son la altura y el radio. Si no es un cilindro, las variables pueden ser otras.

El problema de optimización

$v = \pi r^2 h\\ SA = 2\pi rh + 2\pi r^2\\ A = 2\pi rh(0.1) + 2\pi r^2(0.2)$

Utilizar el volumen como restricción optimiza $A$

Se le ocurrirá alguna medida de $r, h.$

Ahora mida y lata real, hace una lata estándar aproximadamente cumplir con estas dimensiones. Si no es así, puede haber otra razón.

Si cambia el volumen de $335$ ml a $200$ ml cómo cambia eso $r,h.$ Sugeriré que el cilindro optimizado para el volumen más pequeño sea similar al cilindro más grande.

Cuando ve bebidas en latas más pequeñas en las tiendas, ¿son similares a las latas más grandes? Si no es así, ¿por qué crees que puede ser?

Answer 3

En los negocios "correcto" significa (Rentabilidad de tu respuesta - Rentabilidad de la solución obvia) / Tiempo x salario por hora es grande. Una vez más, esta fórmula es correcta desde el punto de vista empresarial.

Para resumir una interesante artículo discutir todas sus preguntas, así como el problema de optimización. Un cilindro es un compromiso entre:

• relación superficie/volumen (coste del material)
• forma fácil de fabricar (para construir un cilindro se envuelve un rectángulo y se añaden 2 discos)
• parte superior e inferior planas para apilar los productos
• bordes redondeados para minimizar la tensión y, por tanto, minimizar el grosor de los laterales (material utilizado)

¿Por qué la esfera minimiza la relación superficie / volumen? Bueno, creo que la prueba rigurosa es "complicada como un doctorado". Es intuitivo por las mismas razones que un círculo minimiza la relación perímetro / superficie en dimensión 2.