Para lo de los números primos $p$ es $ (x + y)^{13} \equiv x^{13} + y^{13} \pmod{p}$, $\forall x,y \in \mathbb{Z}_p$?

Question

Está claro que $2$ $13$ son válidos los valores de $p$, pero no puedo pensar en cualquier enfoque que daría todos los posibles $p$.

Answer 1

Si debe mantener para cada $x,y\in\mathbb Z_p$, a continuación, en particular, se debe mantener para $x=y=1$, y esto sólo es cierto si $p\mid 2^{13}-2=8190$. Por lo $p\in \{2,3,5,7,13\}$ y se puede comprobar que estas probando todas las posibles $x,y$.

Answer 2

Si usted toma $x=y=1$, entonces la congruencia implica que $$2^{13}\equiv 2\pmod{p}$$

Si usted toma $x=2, y=1$, entonces la congruencia implica que $$3^{13}\equiv 2^{13}+1\equiv 3\pmod{p}$$

Continuando de esta manera, nos encontramos con que, para todos los $0\le k<p$, $$k^{13}\equiv k\pmod{p}$$

En particular, el polinomio $x^{13}-x$ $p$ raíces modulo $p$. Nos factor de $$x^{13}-x=x(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)$$ Este debe tener $p$ lineal factores para cualquier $p$ que funciona. Vemos de inmediato $p=2, 3$ trabajo. También, $p=13$ es el máximo posible $p$ que pueden (y deben, por Fermat poco teorema). Para$p$$5,13$, simplemente debemos comprobar para ver si ha $p$ distintas raíces.

Seguimiento: $p=2,3,5,7,13$ trabajo; $p=11$ no. Esto es fácilmente calculado con alfa.