Por qué no lineal homogénea de la educación a distancia tiene sólo una solución de sumarse exponenciales?

Question

Hay un lineal homogénea de educación a distancia (vamos a elegir un segundo orden uno, pero puede ser en cualquier orden):

\begin{align*} af'' + bf' + cf = 0 \end{align*}

Sabemos, que

\begin{align*} f(t)=e^{\lambda t} \end{align*}

es una solución, y tenemos que encontrar dos $\lambda$'s, por lo que la solución general es (si $\lambda$'s son reales y distintas):

\begin{align*} f(t)=c_1e^{\lambda _1 t} + c_2e^{\lambda _2 t} \end{align*}

Mi pregunta es, ¿por qué la única solución está en la forma de sumarse exponenciales? ¿Cuál es la prueba de que no existe otra solución en alguna otra forma, no exponencial?

(Yo entiendo, que si $f_1$ $f_2$ son soluciones, a continuación, $c_1f_1+c_2f_2$ es una solución demasiado, pero no entiendo, ¿por qué $f_*$ tienen que ser exponencial)

Answer 1

Hay un lineal homogénea de educación a distancia (vamos a elegir un segundo orden uno, pero puede ser en cualquier orden):

Ya que sólo se llevaron el segundo caso de la orden como un ejemplo, voy a elaborar en el caso más general.

• Usted puede demostrar que las soluciones a un $n$-ésimo orden lineal ODE forma un espacio vectorial con la dimensión en la mayoría de las $n$; este espacio es atravesado por (a la mayoría) $n$ linealmente independientes de las funciones.
• Conectar $e^{\lambda t}$ a una $n$-ésimo orden, lineal, homogénea ODE con coeficientes constantes resultará en un $n$-ésimo grado del polinomio que tiene exactamente $n$ (posiblemente complejas soluciones, si tomamos las multiplicidades en cuenta.
• Si el $r$ distintas raíces se $\lambda_1 , \ldots , \lambda_r$ con sus respectivas multiplicidades $m_1,\ldots,m_r$ (y por lo tanto tenemos $m_1+\ldots+m_r=n$), entonces se puede demostrar que para todos los $i$$1 \le i \le r$, las funciones de $e^{\lambda_i},te^{\lambda_i},\ldots,t^{m_i}e^{\lambda_i}$ son soluciones de la educación a distancia; hay un total $n$ tales funciones.
• El $n$ funciones de arriba son linealmente independientes, y así abarcar un $n$-dimensional espacio vectorial por lo que este contiene todas las soluciones para la educación a distancia; en otras palabras: cualquier solución es una combinación lineal de estas funciones exponenciales arriba.

Este argumento es un poco indirecta, en el sentido de que no proporciona una intuición directa de por qué las soluciones tienen que ser exponencial, pero muestra que no puede haber ninguna otra: todas las soluciones en este espacio vectorial que es atravesado por el "exponenciales" (incluyendo los de la forma $t^ke^{\lambda t}$ que técnicamente no son exponenciales).

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Véase, por ejemplo, aquí (Teorema 8.3) o aquí (Teorema 4.1).

Answer 2

Yo no se si esto contesta a tu pregunta. Permítanme imponer las siguientes IVP $$ af''+bf'+cf=0,f(0)=f_0,f'(0)=f_1. \tag{1}$$ Deje $y(t)=c_1e^{\lambda _1 t} + c_2e^{\lambda _2 t}$ y, a continuación, hay $c_1,c_2$ tal que $y(0)=f_0,y'(0)=f_1$. Claramente $y(t)$ satisface la siguiente ecuación $$ ay''+by'+cy=0,y(0)=f_0,y'(0)=f_1 \tag{2}. $$ Deje $X(t)=f(t)-y(t)$. A continuación, $X(t)$ es la solución de la siguiente IVP $$ aX''+bX'+cX=0,X(0)=0,X'(0)=0 \tag{3}. $$ Por el teorema de existencia y unicidad, (3) tiene la solución $X(t)\equiv0$. Es decir, $$ f(t)=y(t)=c_1e^{\lambda _1 t} + c_2e^{\lambda _2 t}. $$