¿Cómo puedo demostrar que el polinomio $t^n-x$ es irreducible en $F(x)[t]$ ?

Question

En el planteamiento del problema, se da que $F$ es un campo, $F(x)$ es el campo de las funciones racionales con coeficientes en el campo $F$ y $n$ es un número entero positivo. También entiendo que $F(x)[t]$ es el anillo de polinomios en la variable $t$ con coeficientes dados por los elementos en $F(x)$ .

Comencé a abordar este problema estableciendo una prueba por contradicción:

Supongamos que $t^n-x$ es reducible en $F(x)[t]$ . Entonces, $t^n-x=a(t)*b(t)$ para algunos irreducibles, no unidades $a(t)$ , $b(t)$ en $F(x)[t]$ . Sabemos que los grados de $a(t)$ , $b(t)$ son estrictamente menores que $n$ .

Pero después de esto, estoy perplejo.

Se agradece cualquier ayuda.

Editar: También quiero resolver esto un poco por mi cuenta, así que en lugar de una respuesta completa o una prueba tal vez preferiría algunas pistas o tal vez las observaciones que me estoy perdiendo?

Answer 1

Una forma corta de ver esto:

Por el lema de Gauss, $t^n - x$ es irreducible en $F(x)[t]$ si y sólo si es irreducible en $F[x][t]$ . Pero $F[x][t] = F[t][x]$ y $t^n - x$ es un polinomio de grado $1$ en $F[t][x]$ por lo que es irreducible en $F[t][x]$ y por lo tanto en $F[x][t]$ así como en $F(x)[t]$ .

Answer 2

Sugerencia: El criterio de Eisenstein puede generalizarse a dominios integrales arbitrarios y (en el caso de los UFD) también a su campo de fracciones.

Answer 3

Supongamos que $F$ tiene la característica $0$ o al menos que su característica sea primordial para $n$ . Supongamos por el momento que $F$ contiene $n$ $n^{th}$ raíces de la unidad, y que $\zeta$ sea una raíz primitiva de este tipo. Consideremos $F(x^n)$ un subcampo de $F(x)$ . El automorfismo de $F(x)$ tomando $x$ a $\zeta x$ tiene orden $n$ y campo fijo $F(x^n)$ . (Esto es un endomorfismo porque se consigue mapear lo indeterminado a cualquier cosa. Luego hay que comprobar (fácil) que es onto). Esto demuestra que $t^n-x^n$ es irreducible sobre $F(x^n)$ . Pero como $F(x)$ es isomorfo a $F(x^n)$ por el mapa que toma $x$ a $x^n$ también tenemos $t^n-x$ irreducible sobre $F(x)$ .

Dado que el grado de $k(a,b)$ en $k(a)$ nunca es mayor que el grado de $k(b)$ en $k$ se puede ver fácilmente que este argumento se mantiene incluso si $F$ no contiene las raíces de la unidad deseadas, siempre que puedan ser contiguas.

Para el caso $(n, char F)>1$ También se puede manejar eso, pero será un argumento diferente ya que no es una extensión separable. Lo dejo como ejercicio.

Answer 4

He aquí dos observaciones que pueden ser útiles. En primer lugar, dejemos que $\overline{F}$ sea el cierre algebraico de $F$ . Si el polinomio $h(t) = t^n - x$ factores en $F(x)[t]$ entonces también tiene en cuenta $\overline{F}(x)[t]$ . Así que, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que $F$ es algebraicamente cerrado.

En segundo lugar, podría ser útil imaginar las raíces de $h(t)$ como si ya viviera en algún campo que contenga $F(x)$ . Es decir, empezar con un $y$ , dejemos que $L = F(y)$ y definir $x = y^n$ , dejando que $K = F(y^n) = F(x)$ . El objeto $y^n$ funciona tan bien como cualquier indeterminado, así que $K = F(x)$ es el campo con el que comenzó en su pregunta, y es un subcampo de $L$ .

El polinomio $h(t)$ se encuentra en el anillo polinómico $K[t]$ . Este polinomio tiene una raíz en $L$ , a saber $y$ . Desde $F$ es algebraicamente cerrado, $F$ contiene todos los $n$ raíces de la unidad, digamos $\zeta, \zeta', \zeta''$ etc. Hay como máximo $n$ distinto $n$ raíces de la unidad (menos de $n$ si y sólo si la característica de $F$ divide $n$ ) Entonces todo las raíces de $h(t)$ están en $L$ Son $y, \zeta y, \zeta' y, \zeta''y$ etc.

Answer 5

Creo que se me ha ocurrido una solución diferente, y probablemente la que buscaba mi profesor. Sin embargo, déjenme saber lo que piensan.

En clase, discutimos los polinomios primitivos, y demostramos que en los UFD, un polinomio primitivo es irreducible. En F(x)[t], vemos que los coeficientes de los monomios de $t^n-x$ son 1 y x. Por lo tanto, en F(x)[t], el contenido de $t^n-x$ es $\gcd(1,x)=1$ y $t^n-x$ es primitiva y, por tanto, irreducible en F(x)[t].

Edición: nah esto está mal