Es esta solución matemáticamente "legal"?

Question

Tengo la secuencia $$ a_n = \frac{n \cos n}{n^2 + 1} $$ y estoy tratando de evaluar el límite de $a_n$ $n\to\infty$ $$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n&= \lim_{n\to\infty}\frac{n \cos n}{n^2 + 1}\\ &= \lim_{n\to\infty}\cos n \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + 1}\\ \end{align*} $$ Usando la regla de L'hôpital dos veces en $\frac{n}{n^2+1}$ $$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n&= \lim_{n\to\infty}\cos n \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{0}{2} \\ &= 0 \end{align*} $$

¿Hay algún error en este método?

Answer 1

Esto no es válido. Para distribuir los límites, los límites individuales debe existir. Como Mateo notas, el límite de $\cos n$ no existe por lo tanto, usted no puede distribuir de esta manera. Sin embargo, lo que sí sabemos es que

$$\left|\frac{n\cos n}{n^2+1}\right| \le \frac{n}{n^2+1}$$

desde $\cos$ está delimitado por $\pm 1$. A partir de aquí se aplica el teorema del sándwich.

Answer 2

Más simplemente, usted puede hacer eso con el análisis asintótico y equivalentes:

• $\cos n=O(1)$,
• $\dfrac n{n^2+1}\sim_\infty\dfrac1n$,

por lo tanto: $$\frac{n\cos n}{n^2+1}=O\Bigl(\frac1n\Bigr)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

Answer 3

Su método tiene un menor error técnico. En su método de cálculo $\lim_{n \to \infty}{\cos(x)}$, que no existe. La clave para tomar este límite es de destacar que $\cos(x)$ está acotada. Es decir,

\begin{align} -1 \leq |\cos(n)| \leq 1 \end{align}

Por lo tanto,

\begin{align} -\frac{n}{n^2+1} &\leq \frac{n\cos(n)}{n^2+1} \\ &\leq \frac{n}{n^2+1}. \end{align}

Tenga en cuenta que

\begin{align} \lim_{n \to \infty}-\frac{n}{n^2+1} &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^2+1} \\ &= 0, \end{align}

por L'Hopitals regla, por ejemplo. Por lo tanto, por el teorema del encaje,

\begin{align} \lim_{n \to \infty}\frac{n\cos(n)}{n^2+1} &= 0. \end{align}

Answer 4

Funciona si usted ampliar su intención.

Como otros han mencionado, $\cos(x)$ no tiene un límite como $x \to \infty$.

Sin embargo, cualquier función tiene un conjunto de límite de puntos, y aún podemos dar un significado a hacer operaciones aritméticas con ellos. El conjunto de límite de puntos de $\cos(x)$ $x \to \infty$ es el intervalo de $[-1,1]$. Y debidamente interpretada, $[-1,1] \cdot 0 = 0$.

En resumen, hay algo que es correcto que se asemeja a lo que usted está tratando de hacer. Pero lo que literalmente dijo que no está bien, y no está claro si tenía la idea de derecho y no sabía cómo expresarlo o si, simplemente, un verdadero error.

Answer 5

$$\frac{-n}{n^2+1} \leq a_n \leq \frac{n}{n^2+1}$$ De saber qué hacer a continuación.