Deje $f \in \mathbb{Z}[x]$. Es el número de raíces de $\bar{f}$ $\bar{\mathbb{F}_p}$ acotada arriba por el número de raíces de de $f$$\mathbb{C}$?

Question

Deje $f \in \mathbb{Z}[x]$ ser un polinomio no constante. Considere la posibilidad de $\bar{f} \in \mathbb{F}_p[x].$ Deje $\rho_p$ el número de distintas raíces de $\bar{f}$$\overline{\mathbb{F}}_p$, la clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$. También, vamos a $\rho$ el número de distintas raíces de $f$$\mathbb{C}$.

Pregunta 1:

¿Tiene usted una referencia para mostrar que $\rho_p \leq \rho$ para todos los grandes números primos $p$?

Si no, entonces, por supuesto, también me gustaría ser feliz con un (comprensible) argumento que demuestra que este. (Soy débil en la teoría algebraica de números.)

Pregunta 2:

¿Sólo tenemos que asumir que $p$ es tal que $\bar{f}$ es distinto de cero en $\mathbb{F}_p$?

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Mi fondo de la cuestión: de hecho, me han utilizado el primer resultado en la cuenta de la máxima subgrupos (por su índice) de los grupos de la forma $\mathbb{Z}^k \rtimes \mathbb{Z}$ y similar metabelian grupos. Ahora que voy a volver y releer mi trabajo (para convertirlo en una hoja de papel) me he dado cuenta de que yo este sin justificación.

Answer 1

Sí, esto es más o menos inmediato de la consideración de la factorización de $f$$\mathbb{Z}[x]$. Podemos factor de $f$ $$f=af_1^{e_1}\dots f_n^{e_n}$$ where $a\in\mathbb{Z}$ and $f_1,\dots,f_n\in\mathbb{Z}[x]$ are distinct irreducible polynomials of positive degree. By Gauss's lemma, the $f_i$ are also irreducible in $\mathbb{Q}[x]$. An irreducible polynomial always has distinct roots in characteristic $0$, and distinct irreducible polynomials over a field have no roots in common with each other in any extension field. So each $f_i$ contributes $\deg f_i$ distinct roots to $f$ over $\mathbb{C}$, and so $f$ has $\sum_i \gr f_i$ distinct roots over $\mathbb{C}$.

Ahora, vamos a $p$ ser tal que $\bar{f}\neq 0$. La reducción de nuestra factorización de $f$ mod $p$ obtenemos la factorización $$\bar{f}=\bar{a}\bar{f}_1^{e_1}\dots \bar{f}_n^{e_n}.$$ Since $\bar{f}\neq 0$, none of these factors are $0$. But now it is clear that $\bar{f}$ cannot have more than $\sum_i \gr \bar{f}_i\leq\sum_i\gr f_i$ roots in $\overline{\mathbb{F}}_p$, since each root of $\bar{f}$ is a root of some $\bar{f}_i$. Thus $\rho_p\leq \rho$.

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De hecho, lo suficientemente grande para todos $p$, $\rho_p=\rho$. Esto puede ser demostrado, por ejemplo, mediante el cálculo de $\gcd(f,f')$ $\mathbb{Q}[x]$ usando el algoritmo de Euclides. Este cálculo implica sólo un número finito de números racionales y por lo tanto será válido en $\mathbb{F}_p[x]$ para todos lo suficientemente grande $p$. Desde $\frac{f}{\gcd(f,f')}$ tiene la misma raíz $f$ pero sin repetirse raíces (como $\deg f$ es menos de la característica), esto implica $\rho_p=\rho$ mientras $p$ es lo suficientemente grande.

Como alternativa, este hecho es inmediata a partir de un poco de modelo de la teoría. Si hay infinitamente muchos diferentes $p$ tal que $\rho_p\neq\rho$, tomar un ultraproduct $F$ de los campos $\overline{\mathbb{F}}_p$ todos $p$. Este ultraproduct $F$ será un campo de característica $0$. La declaración "$f$ se divide y no tiene exactamente $\rho$ distintas raíces" puede ser expresado en el primer orden lenguaje de los anillos y es cierto en cada factor de $\overline{\mathbb{F}}_p$, y por lo tanto también es cierto en el ultraproduct $F$. Pero desde $F$ tiene carácter $0$, $f$ debe tener exactamente $\rho$ distintas raíces en $F$, por lo que es una contradicción.