Encontrar el límite de algunas raíces elevado a n

Question

deje $x_1,x_2,x_3$ ser las raíces de $x^3-x^2-1=0$. Si $x_1$ es una raíz real de la ecuación, calcular: $\lim_{n\to\infty}(x_2^n+x_3^n).$

Primero hay que encontrar estas relaciones utilizando viete:

$x_1+x_2+x_3=1$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$

$x_1^3+x_2^3+x_3^3=4$

Ahora, podemos encontrar una recurrencia de la suma de las raíces mediante el inial ecuación y obtenemos esta secuencia:

$$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$$

donde

$$a_1=1, a_2=1, a_3=4$$

Y he probado algo como esto para intentar resolver este problema, pero no podía trabajar hasta el final... en realidad estoy atascado aquí.

Answer 1

Estándar de cálculo demuestra que $x^3-x^2-1$ tiene una sola raíz real $x_1$, e $x_1>1$. Es también la norma que el polinomio tiene otras dos raíces $x_2$ $x_3$ cuales son complejos conjugados: $x_2=\overline{x_3}$, lo $|x_2|=|x_3|$.

Por Vieta, $x_1x_2x_3=1$, lo $|x_2|^2=|x_2x_3|=\frac{1}{|x_1|}<1$, por lo tanto $|x_2|<1$.

Deje $x_2 = re^{i\theta}$ y tenga en cuenta que $x_2^n+x_3^n = r^n 2\cos(n\theta)$

Pero $r=|x_2|<1$, lo $\lim_n r^n 2\cos(n\theta) = 0$.

Por lo tanto $\lim_n x_2^n+x_3^n = 0$.