Calcula el área del polígono cuyos vértices son las soluciones en el plano complejo del polinomio $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ .
Lo que hice fue encontrar los números complejos mediante la factorización y luego usar la fórmula de Surveyor. Sin embargo, eso me obligaba a utilizar la división sintética o polinómica. Me preguntaba si había una manera de encontrar los números sin usar directamente la división o si hay un enfoque geométrico para esto.
Basta con observar que el polinomio es $\frac{x^8-1}{x-1}$ tiene raíces $\operatorname{cis}(2\pi k/8)$ para $k \in \{1, \ldots, 7\}$ .
Así, el valor es el área del octógono regular menos el área de un triángulo formado por dos lados adyacentes.
El área de un octógono (por división en triángulos) con radio $1$ es $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ .
El es una unidad cuadrada dentro de un octágono. Al quitar el cuadrado se ve $4$ pequeños triángulos. Por lo tanto, el área de un pequeño triángulo es $\frac{2\sqrt{2} - 1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4}$ .
$$2\sqrt{2} - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}$$
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¿Qué es la regla del topógrafo?
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Es culpa mía. Debería ser la fórmula del topógrafo.
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Desde $x^7 + \cdots + 1 = \frac{x^8-1}{x-1}$ las raíces son $e^{\frac{2\pi k i}{8}}$ para $k = 1,\ldots, 7$ .