Una pelota esférica de la sal se disuelve en el agua

Question

Una pelota esférica de la sal se disuelve en el agua, de tal manera que la tasa de disminución en el volumen en cualquier instante es proporcional a la superficie. Demostrar que el radio está disminuyendo a un ritmo constante.

Mi Planteamiento:

$$\dfrac {dV}{dt}\propto Surface (S)$$ $$\dfrac {dV}{dt}=k.S$$ donde $k$ es una constante de proporcionalidad. $$\dfrac {dV}{dt}=k.4\pi r^2$$

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Ha $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ así: $$\frac{d V}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3} \pi r^3 \right)=\frac{4}{3} \pi \times 3 \frac{dr}{dt} r^2 $$ de manera que la ecuación es: $$4 \pi \frac{dr}{dt} r^2 = k 4 \pi r^2$$ yo.e (mientras $r\neq 0$): $$\frac{dr}{dt}=k$$.

Answer 2

El área es el volumen de la tasa de crecimiento con respecto a la radio:

$$\dfrac{dV}{dr}=\dfrac {d( \dfrac43 \pi r^3)}{dr}= 4 \pi r^2 = A; $$

Tómese el tiempo de las tasas de

$$ \dfrac{\dfrac {dV}{dt}}{\dfrac {dr}{dt}}= A; $$

El intercambio de la cruz multiplicación constante de producto

$$ \quad \dfrac{\dfrac {dV}{dt}}{A}={\dfrac {dr}{dt}}$$

Desde el lado izquierdo se da como una constante $k$ , el lado derecho debe también igual a la misma constante de $k$.

Answer 3

El volumen es una función de la radio, que a su vez es una función del tiempo. Así que en realidad, su ecuación es $$ \frac{d}{dt}V(r(t)) = K\cdot (r(t))^2 $$ (donde me puse la constante$K$$4\pi k$). Ahora el uso de la regla de la cadena, y lo que usted sabe acerca de $V(r)$.

Answer 4

El volumen es $c\cdot r^3$. Por lo $r^2$ puede ser seleccionado desde ambos lados.