¿Cómo esta la prueba del Teorema 1 en Spivak Cálculo del trabajo?

Question

Hola acabo de empezar a Spivak del Cálculo y me he encontrado con algo que realmente no entiendo. Lo que está tratando de probar es $$ |a+b|\leq|a|+|b|\,. $$ La prueba se basa en la observación de que $|a|=\sqrt{a^2}$. Así: $$ \begin{align*} (|a+b|)^2 = (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\ &\leq a^2+2|a|\times|b|+b^2 \\ &= |a^2|+2|a|\times|b|+|b^2| \\ &= (|a|+|b|)^2 \\ \end{align*} $$ Ahora lo que no entiendo es el cambio en la relación de la línea 1 a la 2 ($= to \leq$) y de la línea 2 a 3 ($\leq to =$).

Puedo adjuntar la página, ya que es más claro que hay (he resaltado la prueba en amarillo). Prueba real de que el libro

Answer 1

Las líneas que se leen de izquierda a derecha y de arriba a abajo. Por tanto, el símbolo ≤ en la línea 2 se relaciona la última expresión de la línea 1 a la siguiente expresión en la línea 2. Del mismo modo, el símbolo = en la línea 3 se relaciona la última expresión de la línea 2 a la siguiente expresión en la línea 3. Lo mismo se podría escribir en una línea como la siguiente: \begin{equation} \begin{split} (|a+b|^2) = (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \leq a^2+2|a|\times|b|+b^2 = |a^2|+2|a|\times|b|+|b^2| = (|a|+|b|)^2, \end{split} \end{equation} pero es más fácil en los ojos para escribir cada nueva expresión en una nueva línea.

Answer 2

Para cualquier número $x \in \mathbb{R}: x \leq |x|$

Por lo tanto, $ab \leq |ab| = |a||b| \implies 2ab \leq 2|a||b| \implies a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2 |a||b| + b ^2$

Answer 3

$$a^2+2ab+b^2 \leq a^2+2|a|\|b|a+b^2 $$ because $$ab \le |a||b|$$

También se $$a^2+2|a|\times|b|+b^2 = |a^2|+2|a|\times|b|+|b^2| $$

debido a $a^2 = |a|^2 $ $b^2 = |b|^2 $