El uso de n-transitividad en teoría de grupos finitos

Question

Hola, al parecer, grupos finitos que son n-transitiva con n>5 son sólo la permutación de grupos S_n o la alternancia de los grupos_n+2, ver, por ejemplo, página 226 de este libro por Isaacs http://books.google.fr/books?id=pCLhYaMUg8IC&pg=PA226

Es esta caracterización útil a todos? Por ejemplo, hay famosas pruebas (tal vez en un contexto geométrico), que lo utilizan para, decir, mostrar que un cierto grupo es, de hecho, algunos Un_n ?

Answer 1

Este hecho se utiliza de una forma agradable por Dunfield y Thurston para demostrar que, para cualquier grupo simple finito Q, el número de Q-cubre de un "aleatorios" 3-colector en su sentido sigue una distribución de Poisson. (Las múltiples transitividad aparece en Thm 7.4.)

También: no tengo una referencia de esto en la mente, pero he visto a Nick Katz dar charlas donde se utiliza un "lineal" de la versión de este, mostrando que una expresión algebraica subgrupo de GL(V) (normalmente un monodromy grupo) es "tan grande como se esperaba", utilizando la irreductibilidad del tensor de poderes de V.

EDIT: En respuesta a los días de Noé consulta, miré una referencia; el teorema se debe a Michael Larsen y es a menudo llamado "Larsen de la Alternativa". Usted puede leer sobre esto en la sección 1 de este trabajo de Katz.

Para el problema específico de distinguir un subgrupo de un grupo por medio de los momentos, en el 2005 el papel de Guralnick y Tiep es relevante.

Answer 2

[Editado para añadir el último campo de la teoría de párrafo]

Acabo de notar que este en una lista de "problemas". He visto aplicaciones para el cálculo de los grupos de Galois $G$ explícito de polinomios $P \in k[X]$. Véase, por ejemplo, Abhyankar la encuesta de papel

[A] Abhyankar, Shreeram S., con un apéndice de J.-P. Serre: la teoría de Galois en la línea en un valor distinto de cero característica, *Toro. AMS (N. S.) 27 #1 (julio de 1992), 68-133.

(Nota la dedicación a la "Walter Feit, J-P. Serre, y dirección de e-mail"!)

Deje $N = \deg P$. Si $G = S_N$ o $A_N$, entonces esto puede ser demostrado por mostrar que $G$ $n$- transitiva para $n$ lo suficientemente grande (dependiendo $N$), en la que el punto de $G=A_N$ si ${\rm disc}(P\phantom.)$ cuadrangular $F$, e $G=S_N$ si no. [Este último asume $2 \neq 0$$k$; hay un pseudo-discriminante criterio que funciona en carácter 2.] Como T. Sauvaget señala en su pregunta, $n>5$ siempre es suficiente, pero en realidad $n=4$ es suficiente, excepto para $N=11,12,23,24$ (Mathieu grupos), y aun $n=3$ la lleva a un general-manejable lista de posibilidades (ver [a, páginas 86-87]).

Este enfoque puede ser útil porque muestra (decir) 4-transitividad cantidades para probar que un par de polinomios son irreducibles. De hecho, $P$ sí es irreductible iff $G$ 1-transitivo; en este caso, se puede tocar con la $k$ a raíz de $X_0$$P$, y, a continuación, el punto de estabilizador en la $G$ es el grupo de Galois de grado-$(N-1)$ polinomio $P_1 := P(X)/(X-X_0)$$k_1 := k(X_0)$, lo $G$ 2-transitiva iff $P_1$ es irreducible sobre $k_1$, en cuyo caso podemos lindan con un segundo root, etc.; si $P_3$ es irreductible, a continuación, $G$ es de 4-transitiva, y listo (excepto en los cuatro Mathieu casos donde hay que ir uno o dos pasos más allá). Ver de nuevo [A], en particular, la Sección 4 "Tirar de las raíces" (pág.69).

Esto también tiene las siguientes divertido consecuencia. Deje $P\phantom.$ ser una irreductible polinomio separable sobre $k$, y definir $P_1, P_2, \ldots, P_n$ como antes, siempre como $P_m$ es irreductible de cada una de las $m<n$. Entonces:

i) Si cada una de las $P_1,P_2,P_3$ es irreductible, sino $P_4$ es reducible a continuación,$\deg P \phantom. \in \lbrace 6, 11, 23 \rbrace$.

ii) Si cada una de las $P_1,P_2,P_3,P_4$ es irreductible, sino $P_5$ es reducible a continuación,$\deg P \phantom. \in \lbrace 7, 12, 24 \rbrace$.

iii) Supongamos $n \geq 5$. Si $P_m$ es irreductible de cada una de las $m \leq n$, pero $P_{n+1}$ es reducible, entonces $\deg P \phantom. = n + 3$.

Por otra parte, cada uno de los permitidos posibilidades de $\deg P\phantom.$ en (i), (ii) y (iii) se produce para el adecuado $k$$P$.

Esta declaración no menciona explícitamente grupos finitos en todo, pero teniendo en cuenta la teoría de Galois es equivalente a la clasificación de 4-transitiva de permutación de grupos.

Answer 3

La mitad de mi tesis de Doctorado fue una prueba de que cualquier liso plano de cuarto grado puede ser recostructed por bitangents. Este es el clásico si usted sabe que bitangents corresponde a la que extraño theta características. Aquí está el corazón de la prueba:

Decir que es Una de los módulos de conjuntos de bitangents + nivel de la estructura, B es el de los módulos de conjuntos de bitangents, por lo que A->B es de Galois con grupo de Galois al menos SP(6,2) (el nivel 2 de la cubierta de grupo), y en la mayoría de los S_28. Me mostró que este grupo es de 2 transtivie, lo que significa que se es SP(6,2), A28 o S28. Luego me mostró que no es la de los dos últimos, que trajo para el caso clásico.