No velocidad angular constante en órbita

Question

Considere la posibilidad de un par de objetos en órbitas elípticas alrededor de un centro común de masa. Por todas las consideraciones de movimiento angular y torque, el punto de pivote de interés es el centro de masa en esta discusión.

Las únicas fuerzas que ocurren apuntar directamente hacia el centro de la masa, y no puede causar que un par. El sistema no experimenta neto de torque, y por lo que el momento angular debe ser conservado.

Cuando se considera un objeto en particular en esta órbita elíptica, su momento de inercia, I, varía a medida que el radio varía. Esta es la vista en los objetos en órbita en un $L = I \omega $ de la lente. Esto también puede ser traducido en la lente de $L = r \times p$, pero el reto que se plantea en la primera lente (quizás es ilegal para mí para discutir el momento angular en un $I\omega$ manera). Como los objetos de acercarse en su trayectoria elíptica, el momento de inercia disminuye ($I=mr^2$), por lo que la velocidad angular debe aumentar para mantener el momentum angular constante.

Por lo tanto, la velocidad angular no es constante, lo que significa que sobre el centro de masa, el sistema de experiencias de la aceleración angular. Sin embargo, sabemos que $\alpha = \tau _{net} /I$. Si $\alpha$ es distinto de cero, parece mostrar que no debe ser una red par, porque es sin duda el caso de que sobre el centro de masa, la velocidad angular del objeto no es constante.

Donde es la ruptura de esta lógica?

Contexto: yo soy un profesor de escuela secundaria álgebra basada en la física (Física AP 1). Los estudiantes de la razonable vínculo que el cambio de velocidad angular parece implicar un valor distinto de cero neto de torque, dado el análogo rotacional de la segunda ley de Newton, que nos enseñan a los nuevos estudiantes como $\alpha = \tau _{net} /I$. Sé que la clave es que el momento de inercia no es constante, pero parece que no importa qué, con esa expresión, neto de torsión cero obligará a $\alpha$ a cero.

Mi instinto: que el "rotacional de la segunda ley de Newton analógico" no es para los no-constante I. (probablemente un poco más allá del alcance de este curso para hacer frente a esa)

Answer 1

Vamos a tomar esto en dos partes: en primer lugar una exposición de cómo funciona esto capacitados físico que tiene acceso a las herramientas de cálculo multivariable, y en segundo lugar un examen de cómo se podría explicar esto a los estudiantes en una clase introductoria basado en el álgebra y la trigonometría (sin cálculos).

Sofisticado ver

Así como la correcta formulación de la dinámica Newtoniana regla es $\vec{F}_\text{net} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$ en lugar de $\vec{F}_\text{net} = m \vec{a}$, la adecuada formulación de la dinámica de la regla de las rotaciones es (el tratamiento de la fized eje del caso por lo que podemos prescindir de vector de notación): \begin{align} \tau_\text{net} &= \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\partial L}{\partial \omega} \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial L}{\partial I} \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &= I \alpha + \omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\;. \end{align} Por supuesto, en el caso de objetos rígidos en rotación libre tenemos $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 0$, de modo que este se convierte en $$ \tau_\text{net} = I \alpha \;,$$ pero para los objetos mutables o casos donde el eje de rotación es el movimiento que necesita de ambos términos.

Aún más cuando la externa neta torque es cero, podemos escribir $$ I \alpha = -\omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \;. $$

Vista del aula

Los estudiantes no tienen la matemática herramientas para analizar el argumento anterior en la forma escrita, por lo que tenemos que ofrecer un andamio de algún tipo.

Trabajo como un problema de conservación

(A raíz de una sugerencia de Acccumulation en los comentarios.)

Si usted tiene la regla de la conservación del momento angular, usted sólo tiene que ir con \begin{align} L_f &= L_i \\ I_f \omega_f &= I_i \omega_i \\ \end{align}

Introducir la idea de que se necesita un plazo para que los cambios en la tendencia inercial

Me tomó un crack en esto de los comentarios, y como usted dice que es menos que satisfactorio, ya que los "arroja una carga hacia abajo" problemas realmente involucrar a múltiples partes de un sistema en una forma que no es exactamente análoga a la pregunta en cuestión.

Eres inteligente estudiante es probable que el derecho a la tierra en la diferencia si se presentan juntos.

Frente al nivel de fuerzas y pares para motivar la necesidad de un segundo mandato

(Esto es lo que usted solicitó en su seguimiento de comentarios.)

La observación clave aquí es seguir la pista de una sola masa del elemento a través de un cambio en el radio de$r_1$$r_2 \ne r_1$.¹ Durante el tiempo que radial se produce el cambio de la masa de continuar moviéndose alrededor del centro de rotación, pero la ruta de acceso de la misa es el elemento no es un círculo centrado en el eje. Que significa que la red de las fuerzas que actúan sobre la masa del elemento no centrípeta, y por lo tanto ejercen distinto de cero trabajo en la masa del elemento: $\vec{F}_\text{net} \cdot \vec{s} \ne 0$.

Tiene el estudiante(s) compruebe por sí mismos.

Pero que hace que la traslación de la energía cinética de la masa del elemento de aumentar al acercarse al centro o a disminuir cuando se mueve hacia afuera. De cualquier manera no hay manera de $\omega$ a permanecer constante.

No obstante, para el centro de fuerzas todavía tenemos $\tau = 0$. Pero que conduce a una contradicción si ustedes insisten $\tau_\text{net} = 0$ es el completo regla para este sistema. Como resultado de ello se debe introducir una parte que depende de la variable $I$.

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¹Esto es completamente natural en la órbita del problema que se ofrecen, pero vale la pena decir explícitamente lo vamos a recordar cuando trabajamos en mutable objetos sólidos en la rotación.

Answer 2

No tengo la capacidad de comentario, simplemente, así que voy a tratar de convertir a este a una respuesta.

Parece que la "ruptura en la lógica" viene al tratar de aplicar los $\tau_{ext}=I/\alpha$ a este problema. Me puse a buscar en los libros de texto que tengo y sólo uno (Halliday y Resnick de vuelta en el día) realmente fue explícito al decir que esta ecuación sólo se aplica a los cuerpos rígidos a pesar de que es cómo se ha derivado. Esto es a menudo pasado por alto como es la advertencia de que $F=ma$ sólo se aplica a los constantes problemas con la masa. Esto parece que podría ser un buen punto aprendizaje para los estudiantes que tienen que entender los límites de las ecuaciones que se dan.

La analogía directa entre el mencionado carbón/tolva problema es la caída de una concéntricos, no giratorio aro en un disco giratorio. Aquí se han cambiado $I$ en un simple calcular manera y no tienen externo de pares (si su sistema es el de dos objetos).

Un caso muy simple de no externo de pares (sin fuerza y punto!) y un cambio de velocidad angular (lo $\alpha\neq 0$) que es similar a tu problema es de una sola partícula que se mueve en el plano x-y paralelo al eje de las x con y=1. El momento angular respecto al origen es constante, pero la velocidad angular se hace muy grande cerca del eje y se va a cero lejos del origen. Desde $I$ es cambiar uno no puede usar el método de Newton analogía con la ecuación.