Supongamos que tenemos seis números reales positivos cuya suma es de 150. Probar que existen dos de ellos cuya diferencia es menor que 10.

Question

Estoy tratando de responder a esta pregunta mediante la contradicción, pero no sé si es correcto. $$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 150$$ Suponiendo que todas las diferencias de $$a_j - a_i \ge 10$$ .

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 +a_5 +a_6) = 0$

$(a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - a_4) + (a_4 - a_5) + (a_5 - a_6 ) + (a_6- a_1) \ge 60$ (contradicción)

Answer 1

Tu argumento falla porque algunos de los términos entre paréntesis debe ser negativo. Basada en la simetría puede volver a numerar las cosas para que las $a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt a_4 \gt a_5 \gt a_6$ conocer $a_6 \gt 0$$a_5 \gt 10$. A continuación,$a_4 \gt 20$. A seguir adelante.

Answer 2

Lo mejor para empezar con el más pequeño $x>0$. Entonces los otros en orden creciente son $$x+d_1, x+d_1 + d_2, \ldots,x+ d_1 + d_2+d_3 + d_4 + d_5$$ donde $d_i\ge 0$ es la diferencia entre el $i+1$ th y $i$th número. Ahora que su suma es $$150 = 6 x + 5 d_1 + 4 d_2 + 3 d_3 + 2 d_4 + d_5$$ so if $d$ is the smallest of the $d_i$ obtenemos $$150 > (5+4+3+2+1) d = 15 d$$ por lo $$0\le d < 10$$ En general, si $n$ números positivos tienen suma $S$, a continuación, dos de ellos tienen diferencia $\ge 0$ $< S/\binom{n}{2}$

Answer 3

Edificio en @fleablood la respuesta: el número mínimo puede ser arbitrariamente pequeño, pero todavía es positivo. La llamamos una.

Los próximos cinco números (en sus más pequeños) debe ser:

$$b = 10 + a$$ $$c = 20 + a$$ $$d = 30 + a$$ $$e = 40 + a$$ $$f = 50 + a$$ Por lo tanto, la suma de todos los números es

$$a + b + c + d + e + f = 150 + 6a$$

Ya que una es positiva (aunque arbitrariamente pequeño) la suma debe ser mayor de 150, lo cual es una contradicción.

Answer 4

El más pequeño de los seis términos deben ser más de $0$.

Si las diferencias de cualquiera de los dos es, al menos,$10$, el segundo debe ser de más de $10$

El más pequeño de la tercera debe ser más de $20$.

Etc.

Así que todos los seis deben sumar más de $0+10+20+30+40+50=150$.

Así que no se puede agregar a $150$. Pueden ser arbitrariamente cerca de $150$ pero deben ser más de $50$.

.....

Si la más pequeña es $a = \epsilon > 0$ y, a continuación, el siguiente más pequeño es $b \ge 10 + \epsilon$ y, a continuación, el siguiente más pequeño es $c \ge 10 + b \ge 20 +\epsilon$. Etc.

La suma es $a + b + c + d+e +f \ge \epsilon + (10 + \epsilon) + .... + (50 + \epsilon) = 150 + 6\epsilon > 150$.

Answer 5

Estoy asumiendo que estamos llevando $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq a_4 \geq a_5 \geq a_6$.

Sin embargo, no podemos simplemente tomar $a_j - a_i \geq 10$ porque $a_i$ podría ser más grande que $a_j$ (tales como el $a_6 - a_1$ que fue utilizado para obtener la contradicción).

La forma correcta sería $|a_j - a_i| \geq 10$, pero esto es algo difícil trabajar.

En su lugar, tal vez considere la posibilidad de demostrar por contradicción señalando que $$a_i \geq a_{i+1} + 10$$

Usted debe ser capaz de trabajar que a $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \geq 5a_6 + 150$.