topológico enredo de entropía para un pinchazo en un toro y la esfera

Question

Topológico enredo de la entropía (http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0510613.pdf, http://arxiv.org/abs/hep-th/0510092) es usualmente calculado para superficies con límite. ¿Cómo sería para superficies compactas y cuando estos son pinchados?

Answer 1

En el ausentes de cualquier respuesta, voy a tratar de dar una respuesta rápida.

Estoy un poco confundido acerca de por qué usted dice que la topológico enredo de la entropía (T) se calcula normalmente en las superficies de los límites. Usted puede, y creo que esto es lo que normalmente se hace, calcule compactos a los colectores. El límite siempre van a estar presentes, ya que se necesita para hacer un bi-partición del colector para calcular el enredo de la entropía (EE). Si en realidad lo hizo el cálculo de un colector con límite, sin pausas grados de libertad en el límite podría causar algunos problemas para la extracción de la CAMISETA. Permítanme describir brevemente lo que ocurre en diferentes situaciones.

Suponga que poner un sistema con una brecha sobre el estado del suelo, en un (ya sea compacta o no compacta sin límite) de dos dimensiones del colector $\mathcal M$, y, a continuación, cortar $\mathcal M$ en dos contráctiles submanifolds $\mathcal A$$\mathcal B$. Teniendo en cuenta la reducción de la densidad de la matriz de la tierra-estado en el subsistema de $\mathcal A$, $\rho_\mathcal A$ (dado por el seguimiento de la información en $\mathcal B$), el enredo de la entropía está dada por $S_\mathcal A = -\text{tr}\left(\rho_\mathcal A\log\rho_\mathcal A\right)$. Como se muestra por Preskill-Kitaev y Levin-Wen (como se citan), el EE tiene la siguiente forma

$$S_\mathcal A = \alpha L_\mathcal A - \gamma + \dots,$$ donde $\alpha$ es un no-universal número, $L_\mathcal A$ es el límite de la zona de $\partial\mathcal A$, y '$\dots$' son términos que se desvanecen en el límite de $L\rightarrow\infty$. Las constantes de la pieza, $\gamma$, es universal y lo que llamamos el TEE de salida. Su determinado únicamente por topológico de datos $$\gamma = \log\mathcal D =\log\sqrt{\sum_id^2_i},$$ donde $d_i$ es el quantum de la dimensión de la $i$'th topológico quasiparticle y $\mathcal D$ es el total de la dimensión cuántica. Si este cálculo se realiza en el puramente topológico de la teoría de campo de límite en el infrarrojo, sólo el topológica de la pieza va a sobrevivir. Si uno calcula el Renyi entropías, $S^n_\mathcal A = \frac 1{1-n}\log\left({\text{tr}\rho^n_\mathcal A}\right) = \alpha_n L_\mathcal A - \gamma +\dots$, el topológica de la pieza será independiente de $n$ y no la nueva información adquirida.

1. Esta es toda la historia estándar, como se menciona en los documentos que se citan. Uno podría preguntar ¿qué pasa si el desdoblamiento no es contráctiles? Por ejemplo, decir $\mathcal M=T^2$ es el 2-toro y hace un corte tal que $\mathcal A$ no está simplemente conectado (consulte la figura 1 de la ref. 1). En este caso resulta que la topológicos de la pieza, $\gamma_n'$, en el Renyi entropía $$S^n_\mathcal A = \alpha_nL_\mathcal A - \gamma_n' + \dots,$$ además se $\gamma = \log\mathcal D$, dependen $n$ y los coeficientes de $c_j$ de la tierra del estado en una base especial $|\Phi\rangle = \sum_jc_j|\Theta_j\rangle$. Para la fórmula detallada, véase la ecuación (2) en la ref 1 y la ecuación (2.38) de la ref. 2. La base de los estados $|\Theta_i\rangle$ se llama entropía mínima estados (MESs), ver 1 para una definición detallada.
2. Ahora, ¿qué pasa si $\mathcal M$ es un pinchazo en un colector? Dando condiciones de contorno adecuadas, estos pinchazos corresponden esencialmente a cuasi-partículas. Así, en este caso, estamos calculando el enredo de la entropía en la presencia de excitaciones. De aquí resulta que, dependiendo de la partición en particular, el resultado dependerá de varios componentes de la topológico $\mathcal S$-matriz. Esto significa que, de este modo, podemos extraer mucho más topológica de la información de la base de TQFT que sólo el total de la dimensión cuántica. Para más detalles, consulte la sección 3 de la 2.

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EDIT: En los comentarios, Hamurabi pedir a la interesante pregunta de lo que sucede en las dimensiones superiores. Permítanme mencionar brevemente la propuesta de ref 4:

Bajo ciertas hipótesis generales, se puede escribir la (Von Neumann) EE como la suma de dos piezas

$$S_\mathcal A = S_{\mathcal A,local} + S_{\mathcal A,topological},$$

donde el primer término depende de la información local del sistema, mientras que el segundo codificar el mundial, topológica de la pieza de enganche. Argumentan, que el local de la pieza en la dimensión $D$ tiene la siguiente expansión

$$S_{\mathcal A,local} = \alpha_1L_\mathcal A ^{D-1} + \alpha_3L_\mathcal A^{D-3}+\alpha_5L_\mathcal A^{D-5} + \dots,$$ donde todos los $\alpha_i$'s no son universales. Tenga en cuenta que a $D$ a, $S_{\mathcal A,local}$ no tiene ningún constante de la pieza y cualquier constante pieza de $S_\mathcal A$ por lo tanto debe ser topológico (como en $D=2$). Para $D$ extraño, sin embargo, no puede ser no-topológico constante de la pieza y de esta forma hacer un poco más difícil de extraer $S_{\mathcal A,topological}$. Ellos proponen (y comprobar en varios ejemplos) de la siguiente forma general de la CAMISETA

$$S_{\mathcal Una,topológico} = \begin{cases}-\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 - \dots -\gamma_{\frac D2-1}b_{\frac D2-1}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is even},\\ -\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 + \dots -\gamma_{\frac {D-3}2}b_{\frac {D-3}2}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is odd}, \end{casos}$$ donde $b_i$ $i$'ésimo número de Betti del colector $\partial A$. Por ejemplo, la expresión general en $D=2$$S_\mathcal A = \alpha_1 L_\mathcal A - b_0\gamma_0$, donde el cero de Betti número $b_0$ sólo cuenta el número de componentes conectados de $\partial A$. Observe que para $D=2,3$ hay sólo un tipo de CAMISETA, mientras que hay varios en dimensiones superiores!

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Referencias:

[ 1 ] Zhang et al, Cuasi-partícula de Estadísticas y Trenzado de Suelo del Estado de Entrelazamiento Phys. Apo. B 85, 235151 (2012), arXiv:1111.2342

[ 2 ] Dong et al, Topológico Enredo de la Entropía en Chern-Simons Teorías Cuántica y la Sala de Fluidos JHEP05(2008)016, arXiv:0802.3231

[ 3 ] Hikami, Madeja de la Teoría y la Cuántica Topológica de los Registros: el Trenzado de las Matrices y Topológica de la Entropía de Entrelazamiento No Abelian Hall Cuántico Estados arXiv:0709.2409

[ 4 ] Grover et al, el Enredo de la Entropía de la Abertura de las Fases y el Orden Topológico en Tres dimensiones Phys. Apo. B 84, 195120 (2011), arXiv:1108.4038

Answer 2

Me gustaría abordar una posible complejidad aquí para el manifold con frontera, tales como pinchazos en el colector. Lo primero es preguntarse si el borde estados son sin espacio o abertura. La situación puede ser diferente. Aquí permítanme decir algo sobre el aumento del límite de caso. Recientemente se ha estudiado:

• el uso de un tensor de la categoría de idiomas en el orden topológico, con abertura de los límites (es decir, el borde de los estados están ajustadas) por A. Kitaev y L. Kong 1104.5047.

• el uso de Topológico QFT (TQFT) para entender la propiedad de la orden topológico con la abertura de las fronteras. Tales J. Wang y X. G. Wen 1212.4863 y A. Kapustin 1306.4254 y Ref en el mismo.

Como se discutió por Heidar y Hamurabi, Topológico Enredo de la Entropía(T) $S_{TEE}=-\log D$. Pero más explícitamente, podemos escribir, al menos para Abelian orden topológico,

$$D=e^{-S_{TEE}}= \text{cuántica de la dimensión del sistema}\\ = \text{número de quasiparticle tipos de sistema de}\\ =\text{terreno el estado de degeneración(GSD) del sistema en $T^2$ toro}$$

Esto nos dice $D$ está relacionado con el estado del suelo degeneración(GSD) de el sistema en el toro. Hay alguna imagen intuitiva mediante cadena o red de Wilson line(línea), operador de quasiparticles(anyons) a contar de este GSD, por lo tanto el TEE de salida. Uno se puede preguntar si el GSD de orden topológico puede depender del colector con el aumento de los límites?

La respuesta es absoluta, sí. Tomemos una esfera con dos perforaciones. Se encuentra, en 1212.4863, $Z_2$ tóricas($Z_2$ teoría de gauge) código GSD=2 o GSD=1, dependiendo de los tipos de brechas de límites, mientras que $Z_2$ duplicado semions(twist $Z_2$ teoría de gauge) ha GSD=2, independientemente de los tipos de abertura de las fronteras. Uno puede volver a utilizar la cadena o red de Wilson línea de anyons contar GSD, explicó en 1212.4863.

Por lo tanto usted hacer que hacer más si este GSD propiedad afectará la CAMISETA para el colector con el aumento de los límites?

No sería demasiado sorpresa si efectivamente existe esta posibilidad.

ps. De hecho hace unos meses yo tenía algunas ideas en la elaboración de Topológico Enredo de Entropía para este tipo de casos genéricos, el colector con registros de viajes/abertura de las fronteras y los pinchazos.