Dejemos que $n \ge 2$ y considerar la inversión $\Phi\colon \mathbb{R}^n \setminus \{\vec{0}\} \to \mathbb{R}^n \setminus \{\vec{0}\}$ dado por $x \mapsto \frac{x}{|x|^2}$ . Para $a > 0$ definen el semiespacio $H_a^+ = \{(x_1, \dots, x_{n-1}, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_n > a\}$ . Demostrar que $\Phi(H_a^+) = B((0, \dots, 0, \frac{1}{2a}), \frac{1}{2a})$ . Es decir, queremos demostrar que $\Phi(H_a^+)$ es igual a la $n$ -bola de radio dimensonal $\frac{1}{2a}$ centrado en el punto $(0, \dots, 0, \frac{1}{2a}) \in \mathbb{R}^n$ .
Esta pregunta ha aparecido en un antiguo examen de calificación de PDE. En el curso, cubrimos varios temas, incluyendo las ecuaciones de onda y del calor, las funciones armónicas, el problema de Dirichlet y las funciones propias del Laplaciano. Me pregunto si hay alguna técnica relacionada con estos conceptos que pueda utilizarse para resolver este problema.
Una observación que he hecho es que el conjunto $\{(0, \dots,0, r) \in \mathbb{R}^n| r > a\} \subseteq H_a^+$ se mapea en $\{(0, \dots, 0, \frac{1}{r}) \in \mathbb{R}^n| r> a\} \subseteq B((0, \dots, 0, \frac{1}{2a}), \frac{1}{2a})$ . Sé que hay mucho más que hacer, pero esto es lo mejor que tengo hasta ahora. Se agradecen mucho los consejos o soluciones.
