Imagen de un medio espacio en $\mathbb{R}^n\setminus \{\vec{0}\}$ bajo la inversión $x \mapsto \frac{x}{|x|^2}$

Question

Dejemos que $n \ge 2$ y considerar la inversión $\Phi\colon \mathbb{R}^n \setminus \{\vec{0}\} \to \mathbb{R}^n \setminus \{\vec{0}\}$ dado por $x \mapsto \frac{x}{|x|^2}$ . Para $a > 0$ definen el semiespacio $H_a^+ = \{(x_1, \dots, x_{n-1}, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_n > a\}$ . Demostrar que $\Phi(H_a^+) = B((0, \dots, 0, \frac{1}{2a}), \frac{1}{2a})$ . Es decir, queremos demostrar que $\Phi(H_a^+)$ es igual a la $n$ -bola de radio dimensonal $\frac{1}{2a}$ centrado en el punto $(0, \dots, 0, \frac{1}{2a}) \in \mathbb{R}^n$ .

Esta pregunta ha aparecido en un antiguo examen de calificación de PDE. En el curso, cubrimos varios temas, incluyendo las ecuaciones de onda y del calor, las funciones armónicas, el problema de Dirichlet y las funciones propias del Laplaciano. Me pregunto si hay alguna técnica relacionada con estos conceptos que pueda utilizarse para resolver este problema.

Una observación que he hecho es que el conjunto $\{(0, \dots,0, r) \in \mathbb{R}^n| r > a\} \subseteq H_a^+$ se mapea en $\{(0, \dots, 0, \frac{1}{r}) \in \mathbb{R}^n| r> a\} \subseteq B((0, \dots, 0, \frac{1}{2a}), \frac{1}{2a})$ . Sé que hay mucho más que hacer, pero esto es lo mejor que tengo hasta ahora. Se agradecen mucho los consejos o soluciones.

Answer 1

Hace unos 5 años, escribí un breve documento en la geometría del mapa de inversión. Utilizaré aquí un diagrama y el argumento de la sección que trata de la inversión del plano.

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Tenga en cuenta que $\triangle PCB$ es similar a $\triangle PBD$ . Esto significa que $$\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}$$ Con un poco de extapolación, esto muestra que el mapa de inversión mapea el plano a una esfera que pasa por el punto de proyección.