Puede que la gráfica de una limitada función siempre tiene una desenfrenada derivados? Quiero saber si $f$ se ha acotado la variación de entonces su derivada es acotada. Lo contrario es obvio. Creo que la respuesta es "sí". Si la gráfica para tener una desenfrenada de derivados, que coincidiría con una línea vertical.
Respuestas
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Chris Ballance
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$f(x)=\sin\left(x\sin x\right)$ es limitada y diferenciable en todas partes en $\mathbb{R}$, pero no tiene delimitada derivados.
Edit: Para demostrar que $f'(x)=\cos(x\sin x)[\sin x+x\cos x]$ es ilimitado, se observa que la $x\sin x=0$ al $x=2n\pi$ $x\sin x=(2n+\frac12)\pi$ al $x=(2n+\frac12)\pi$. Por lo tanto, no existe una secuencia de números positivos $x_n\to\infty$ tal que $x_n\sin x_n=1$. En consecuencia, $$ \frac{f'(x_n)}{\cos 1} =\frac1{x_n}+x_n\sqrt{1-\frac1{x_n^2}}\to\infty \ \text{ como }\ n\to\infty. $$
DiGi
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tooshel
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Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ está definido por $f(x)=\sin(x^2)$, $f$ es diferenciable en todas partes, delimitado, con unbounded derivado $|x|\to\infty$.
Si $g:(-1,1)\to\mathbb R$ está definido por $g(x)=x^2\sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$ si $x\neq 0$, e $g(0)=0$, $g$ es diferenciable en todas partes, delimitado, con unbounded derivado $|x|\to 0$. (El dominio podría ser cambiado a cualquier otro intervalo acotado. Alternativamente, usted puede multiplicar por $e^{-x^2}$ o algo para hacerlo delimitada por todas partes sin cambiar las propiedades relevantes.)
Si $h:[a,b]\to\mathbb R$ es un medibles Lebesgue integrable función, entonces $H(x)=\int_a^xh(t)dt$ es absolutamente continua, por tanto, de una limitada variación y $H'(x)=h(x)$ en casi todas partes. Desde $h$ no necesita ser esencialmente limitado, esto le da más contraejemplos si permiten funciones no diferenciables en todas partes.
Giulio Muscarello
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Oh, seguro. Estoy seguro de que hay un montón de ejemplos, pero debido al trabajo que tengo que hacer, alguna modificación de la entropía de la función viene a la mente. Considere la siguiente función:
$$
f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}, \quad f(x) \triangleq \begin{cases} x \log |x| & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{casos}
$$
No es difícil comprobar que esta función es continua y tiene un derivado de la
$$f'(x) = \log|x| + 1$$ for nonzero $x$. So $f'(x)$ is unbounded at the origin; but $f(x)$ is unbounded as well, so we're not quite there. We can create the function we seek by multiplying $f$ by a well-chosen envelope that drives the function to $0$ en los extremos. Por ejemplo:
$$
g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}, \quad g(x) \triangleq e^{-x^2} f(x) = \begin{cases} x e^{-x^2} \log |x| & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{casos}
$$
La primera derivada a cero $x$ es
$$
g'(x) = e^{-x^2} \cdot \left( ( 1 - 2 x^2 ) \log|x| + 1 \right)
$$
que sigue siendo ilimitado. Se adjunta una parcela de $g$$g'$.
EDITADO para añadir: me doy cuenta de que un número de otras respuestas han elegido un dominio acotado. Desde mi punto de vista que es un poco incompleta. Después de todo, a menudo consideramos tales funciones mediante el extendido real número de línea, y en ese contexto no son acotados. Ciertamente, son muchas las funciones que cumplen el cartel original de condiciones sin tener que recurrir a un almacén de dominio.
YequalsX
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Muchos ejemplos ya han sido dadas. Quizás más explicación cualitativa también sería útil: el valor de $f'$ $x$ es la pendiente de la gráfica de $f$$x$. Así, en el fin de realizar una función con unbounded derivados, sólo tenemos que elegir algunos puntos de $x_n$ de manera tal que en cada una de las $n$ la pendiente de la gráfica es $\geq n$. Así: tome una hoja de papel cuadriculado, y hacer un muy corto segmento de línea a través de cada uno de los puntos de $x = 1, 2, 3, 4,\ldots$ a lo largo de la $x$-eje de laderas $+1, -2, +3, -4,\ldots$. Ahora dibuje una curva suave que pasa a través de estos puntos de tangente a estas líneas de segmentss, pero asegúrese de que usted "vuelta" antes de cruzar la línea de $y = + 1$ o $y = -1$; usted ha dibujado la gráfica de una función oscilante, delimitada entre el $\pm 1$, cuya derivada es no acotada.
El pensamiento de este medio, y pensar en la cantidad de libertad que tiene en el dibujo de una gráfica, se muestra que hay muchos ejemplos de este tipo!
Agregado: Como Jonas Meyer señaló en un comentario, en el contexto de la OP de la pregunta (y la alusión a las funciones de VB), que podría ser más natural para fijar la atención en un intervalo acotado. Si trabajamos en un intervalo abierto, entonces podemos hacer el mismo tipo de construcción como en el anterior, sólo dejar que los puntos de $x_n$ tienden hacia el punto final del intervalo. Si trabajamos en un intervalo cerrado, y asumir que $f'$ existe (en un solo lado de sentido en los extremos) y es continua, entonces va a ser limitada (sólo porque una función continua en un intervalo cerrado es limitado), y esta parece ser la intuición subyacente de la OP comentario acerca de la obtención de una línea vertical desde la asunción de una desenfrenada derivados. Si permitimos $f'$ a ser discontinua (incluso en un momento dado), entonces podemos volver a hacer muchos ejemplos, sólo por trituración de la función a cero en el punto de discontinuidad de la $f'$ (como en Jonas Meyer $x^2 \sin(1/x^2)$ ejemplo).
