Gradshteyn & Ryzhik, 7ª ed., p. 570, fórmula 4.325(5) dar la siguiente integral definida: $$\begin{align*}{\large\int}_0^1\frac{\ln\ln\left(\frac1x\right)}{1+x+x^2}dx&=\frac\pi{\sqrt3}\ln\frac{\sqrt[3]{2\pi}\,\Gamma\left(\frac23\right)}{\Gamma\left(\frac13\right)}\\&=\frac\pi{\sqrt3}\left(\frac{4\ln2\pi}3-\frac{\ln3}2-2\ln\Gamma\left(\tfrac13\right)\right)\end{align*}$$ Este y otros similares integrales se discuten en varios documentos:
- Vardi, Integrales, una introducción a la teoría analítica de números. Am. De matemáticas. Mon. 95, 308-315 (1988)
- Adamchik, Una clase de logarítmicas integrales. Los procedimientos de ISSAC, 1-8, 1997
- Medina, Moll, Una clase de logarítmicas integrales, Ramanujan J. 20 (2009), no. 1, 91-126
- Blagouchine, el Redescubrimiento de Malmsten de las integrales, su evaluación por el contorno de los métodos de integración y algunos resultados relacionados, Ramanujan J. 2014; 35: 21
Es posible encontrar una forma cerrada para un similar integral de tener el cuadrado del logaritmo del numerador? $${\large\int}_0^1\frac{\ln^2\ln\left(\frac1x\right)}{1+x+x^2}dx$$