$$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t}{1+\sqrt{\sin 2t}}\,dt $$ he utilizado las propiedades de las integrales definidas para reducir hasta este $$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\sqrt{\sin 2t}}\,dt$$ No estoy seguro de cómo se enfoque a partir de aquí , se preguntó en el AMM ,problema 11961
Respuesta
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$$\begin{align}2I&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\sqrt{\sin 2t}}\,dt\\&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\sqrt{1-(\sin t-\cos t)^2}}\,dt\\& =\underbrace{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos u}{1+\cos u}\,du}_{\sin t-\cos t=\sin u }\\&=2\int_0^{\pi/2}\left(1-\dfrac{1}{1+\cos u}\right)\,du\end{align}$$ La solución de este obtendrás $$I=\frac{\pi}{2}-1$$
