¿Está la norma de Frobenius en las potencias exteriores mayorizada por una potencia de la norma en matrices?

Question

Sea $A$ una matriz de $n \times n$ sobre los números complejos. La norma de Frobenius de $A$ está definida por

$$ \| A \| = Tr(A \cdot A^*) $$

donde $A^*$ es la traspuesta conjugada de $A.

Ahora sea $\wedge^k A$ la matriz de menores de $k \times k$ de $A$. Entonces tenemos una norma de Frobenius de $\wedge^k A$, dada por

$$ \| \wedge^k A \| = Tr(\wedge^k A \cdot \wedge^k A^*). $$

Me gustaría acotar la norma de $\wedge^k A$ por la de $A$, y no me importa hacerlo de forma muy bruta. Entonces, por ejemplo, ¿existe una constante $C$ tal que $\| \wedge^k A \| \leq C \| A \|^k$? Parece que esa desigualdad debería cumplirse con $C = 1$, pero sigo perdiéndome en el bosque de polinomios simétricos en $k$ letras cuando intento demostrarlo.

Answer 1

Respondo a tu primera pregunta.

El mapa $(A_1,\dots A_k)\in (End(\mathbb{C}^n))^{\times k}\mapsto A_1\wedge\dots\wedge A_k\in End((\mathbb{C}^n)^{\wedge k})$ es multilineal entre espacios de Banach de dimensión finita, por lo que es automáticamente continuo.
La continuidad de un mapa multilinal es lo mismo que la acotación, es decir, existe un número real $C_k$ tal que $\|A_1\wedge\dots\wedge A_k\|\leq C_k\|A_1\|\dots\|A_k\|$.

Cómo estimar esas cotas $C_k$ es otra pregunta$\dots$